Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .
2002 год — год-палиндром, то есть одинаково читается справа налево и слева направо. Предыдущий год-палиндром был 11 лет назад (1991). Какое максимальное число годов-непалиндромов может идти подряд (между 1000 и 9999 годами)?
В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по
одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.
Еще Архимед знал, что шар занимает ровно объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра). В цилиндрической упаковке находятся 5 стоящих друг на друге шаров. Найдите отношение пустого места к занятому в этой упаковке.
При каких n > 3 правильный n-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?
На доске написано n выражений вида *x² + *x + * = 0 (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?
В круглый бокал, осевое сечение которого — график функции y = x4, опускают
вишенку — шар радиуса r. При каком наибольшем r шар коснется нижней
точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус r круга, лежащего в
области yx4 и содержащего начало координат?)
Назовём десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?
На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых k+1 квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить не более чем на 2k-1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.
Докажите, что для любого k > 1 найдётся такая степень двойки, что среди k последних её цифр не менее половины составляют девятки.
(Например, 212 = ...96, 253 = ...992.)
В тетраэдр ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.
а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.
б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.
|
|
 |
Условие
а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.
б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.
Решение
Пусть O – центр сферы, Q – искомый центр масс. Прямые высекают хорды, и ясно, что Q – центр масс середин этих хорд (для икосаэдра, как центрально-симметричной фигуры, пары противоположных лучей тоже можно заменить прямыми, содержащими большие диагонали).
а) Середины хорд (обозначим их K, L, M) являются проекциями центра сферы O на проведённые прямые, поэтому
(вектор равен сумме своих проекций на три перпендикулярные оси). Отсюда .
б) Пусть Достаточно доказать, что c = αa, где коэффициент α не
зависит ни от вектора a, ни от положения икосаэдра.
Середины хорд являются проекциями точки O на диагонали икосаэдра. Пусть ei – единичный вектор, направленный по i-й диагонали, Ai – соответствующая проекция. Тогда и 6c = (a, e1)e1 + ... + (a, e6)e6. Последнее выражение зависит от a линейно, поэтому равенство
(a, e1)e1 + ... + (a, e6)e6 = 6αa (*)
достаточно доказать для любых трёх некомпланарных векторов, в частности,
для e1, e2, e3.
Заметим, что результат не изменится, если направления некоторых векторов ei сменить на противоположные, поэтому при доказательстве равенства (*) для a = e1 можно считать, что векторы e2, ..., e6 направлены в вершины икосаэдра, ближайшие к той, куда направлен вектор e1. Но тогда в силу симметрии (e1, e2) = ... = (e1, e6), а e2 + ... + e6 = βe1, где β ни от чего не зависит.
Аналогично доказывается равенство (*) для a = e2 и a = e3.
Замечания
1. Как видно из решения, 6α = 1 + 5cos²ψ, где ψ – угол между соседними диагоналями икосаэдра.
2. Баллы: 5 + 5.
3. Ср. с задачей 116832.
