Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Про трапецию ABCD с основаниями AD и BC известно, что AB = BD. Пусть точка M – середина боковой стороны CD, а O – точка пересечения отрезков AC и BM. Докажите, что треугольник BOC – равнобедренный.
Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника ABC и A'B'C' и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников.
Докажите, что середины отрезков AA', BB' и CC' лежат на одной прямой.
В прямоугольной трапеции PQRS (
QR || PS,
PQ PS) меньшее основание QR равно 2, а
боковая сторона RS равна 4. Точка T, середина стороны RS,
соединена отрезком прямой с точкой P. Известно, что
угол TPS равен
. Найдите площадь трапеции PQRS.
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки H и O – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны AB и BC в точках A1 и C1. Докажите, что OB – биссектриса угла A1OC1.
Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим yb как образ прямой y при симметрии относительно XB, а yc – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть yb и yс пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих yb и yс).
На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом 2000 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать не менее 500 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом (соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину).
Фигурки из четырёх клеток называются тет- рамино. Они бывают пяти видов (см. рис.). Существует ли такая фигура, что при любом выборе вида тетрамино эту фигуру можно составить, используя тетраминошки только выбранного вида? (Переворачивать тетраминошки можно.)
Через двор проходят четыре пересекающиеся тропинки (см. план).
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC,
пересекает сторону AB в точке D и сторону BC в точке E. Найдите
угол CDB, если AD = 5,
AC = 2, BE = 4,
BD : CE = 3 : 2.
Продолжите последовательность чисел: 1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223, 114213...
В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно, $AB < AC$. Прямая, проходящая через середину $K$ отрезка $AH$ и перпендикулярная $OK$, пересекает сторону $AB$ и касательную к описанной окружности в точке $A$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XOY=\angle AOB$.
Точка удалена от прямой MN на расстояние a. Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку A и касается прямой MN. Найдите расстояние между полученной точкой касания и данной точкой A.
Обозначим через dk количество таких домов в Москве, в которых живет не меньше k жителей, и через cm - количество жителей в m-ом по величине населения доме. Докажите равенство c1+c2+c3+... = d1+d2+d3+... .
|
|
 |
Условие
Обозначим через dk количество таких домов в
Москве, в которых живет не меньше k жителей,
и через cm - количество жителей в
m-ом по величине населения доме.
Докажите равенство
c1+c2+c3+... =
d1+d2+d3+... .
Подсказка
Подсчитайте число жителей Москвы двумя способами.
Решение
Ясно, что c1+c2+c3+... равно числу жителей в Москве (просто суммируем число жителей по всем домам). Теперь для удобства представим себе, что в доме, где живет k человек, имеется k этажей, и на каждом из этажей живет по одному жителю. Тогда всего в Москве на первом этаже живет d1 жителей, на втором этаже живет d2 жителей, на k-ом этаже живет dk жителей, и т.д. Таким образом, всего в Москве d1+d2+d3+... жителей. Итак, нужное равенство следует из подсчета числа жителей Москвы двумя способами.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
