Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что в любом треугольнике сумма длин высот меньше периметра.

   Решение

---

На сторонах угла AOB от вершины O отложены отрезки OA и OB, причем OA > OB. На отрезке OA взята точка M, на продолжении отрезка OB — точка N так, что AM = BN = x. Найти значение x, при котором отрезок MN имеет наименьшую длину.

   Решение

---

Пусть даны последовательности чисел {a_n} и {b_n}, связанные соотношением b_n = a_n,    (n = 1, 2,...). Как связаны частичные суммы S_n последовательности {a_n}

с последовательностью {b_n}?

   Решение

---

На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?

   Решение

---

Можно ли поверхность единичного куба оклеить четырьмя треугольниками площади 1,5?

   Решение

---

Медиана AD, высота BE и биссектриса CF треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что  BO = CO.
Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

   Решение

---

Пусть  f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)  – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

   Решение

---

Задан массив X [1:m]. Найти длину k самой длинной ''пилообразной (зубьями вверх)'' последовательности идущих подряд чисел:

X [p+1]< X [p+2]>X [p+3]<...> X[p+k].

   Решение

---

Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем AKB = 90^o. Докажите, что AB = 2R.

   Решение

---

Пусть a , b и c – стороны параллелепипеда, d – одна из его диагоналей. Докажите, что a2 + b2 + c2 d2 .

   Решение

---

Найдите последовательность {a_n} такую, что a_n = n². Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы 1² + 2² + 3² +...+ n².

   Решение

---

Как разделить блинчик тремя прямолинейными разрезами на 4, 5, 6, 7 частей?

   Решение

---

Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. $$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.

   Решение

---

Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

   Решение

Темы:    [ Многогранные углы ] [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

Подсказка

Рассмотрите две прямые пересечения пар противоположных граней и сечение плоскостью, параллельной этим прямым.

Решение

Пусть ABCDS – выпуклый четырёхгранный угол с вершиной S. Плоскости противоположных граней ASB и CSD пересекаются по прямой a, а граней ASD и BSD – по прямой b, проходящим через S. Через пересекающиеся прямые a и b проведём плоскость П. Любая плоскость, проведённая через произвольную точку ребра данного четырёхгранного угла, пересекает этот угол по некоторому четырёхугольнику. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей противоположные стороны этого четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Источники и прецеденты использования