Версия для печати
Убрать все задачи

---

На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?

   Решение

---

На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).

   Решение

---

Разложить на целые рациональные множители выражение  a¹⁰ + a⁵ + 1.

   Решение

---

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁. Докажите, что AA₁ = BB₁ = CC₁.

   Решение

---

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCP и CDQ. Докажите, что треугольник APQ правильный.

   Решение

---

На бирже Цветочного города 1 лимон и 1 банан можно обменять на 2 апельсина и 23 вишни, а 3 лимона – на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен. Что дороже: лимон или банан?

   Решение

---

Точки А, В и С лежат на прямой m, а точки D и Е на ней не лежат. Известно, что AD = AE и BD = BE. Докажите, что CD = CE.

   Решение

---

Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.

   Решение

---

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
  а) (2n+1)-угольника;  б) 2n-угольника?

   Решение

---

Решите неравенство:
|x + 2000| < |x - 2001|.

   Решение

---

Число y получается из натурального числа x некоторой перестановкой его цифр. Докажите, что каково бы ни было x,  

   Решение

---

Докажите, что при повороте x'' = x'cosφ + y'sinφ,  y'' = - x'sinφ + y'cosφ выражение ax'² + 2bx'y' + cy'² переходит в a₁x'² + 2b₁x''y'' + c₁y'², причём a₁c₁ - b₁² = ac - b².

   Решение

---

В пачке 20 карточек: синие, красные и желтые. Синих в шесть раз меньше, чем желтых, и красных меньше, чем желтых. Какое наименьшее количество карточек надо вытащить не глядя, чтобы среди них обязательно оказалась красная?

   Решение

---

Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.

Подсказка

Точка пересечения диагоналей, её проекции на соседние стороны и общая точка этих сторон лежат на одной окружности.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD; M, N, P, Q — проекции точки O на AB, BC, CD и AD. Тогда

(т.к. точки M и Q лежат на окружности с диаметром AO, а точки P и Q — на окружности с диаметром OD). Аналогично OMN + OPN = 90^o. Поэтому

Следовательно, четырёхугольник MNPQ — вписанный.

Источники и прецеденты использования