Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Угол при вершине A треугольника ABC равен 120o. Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что расстояние от вершины A до центра окружности равно периметру треугольника ABC.
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что CB = BE.
В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?
Фазовая плоскость Opq разбивается параболой p² – 4q = 0 и прямыми p + q + 1 = 0, – 2p + q + 4 = 0 на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен x² + px + q = 0 на интервале (– 2, 1).
Докажите, что если в четырехугольнике два противоположные угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.
На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что ∠AEC = 90°. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O1O2. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.
Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде 3u12v1 + 3u22v2 + ... + 3uk2vk, где u1 > u2 > ... > uk ≥ 0 и 0 ≤ v1 < v2 < ... < vk – целые числа.
По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных
единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не
больше ¼.
Переложите пирамиду из 10 кубиков (см. рисунок) так, чтобы её форма осталась прежней, но каждый кубик соприкасался только с новыми кубиками.
На стороне AC остроугольного треугольника ABC взята точка D так, что AD = 1, DC = 2, а BD является высотой треугольника ABC. Окружность радиуса 2, проходящая через точки A и D, касается в точке D окружности, описанной около треугольника BDC. Найдите площадь треугольника ABC.
Смешарики живут на берегах пруда в форме равностороннего треугольника со стороной 600 м. Крош и Бараш живут на одном берегу в 300 м друг от друга. Летом Лосяшу до Кроша идти 900 м, Барашу до Нюши – тоже 900 м. Докажите, что зимой, когда пруд замёрзнет и можно будет ходить прямо по льду, Лосяшу до Кроша снова будет идти столько же метров, сколько Барашу до Нюши.
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12. Точка K лежит на продолжении ребра BC на расстоянии, равном 9, от вершины C . Точка L ребра AB удалена от A на расстояние, равное 5. Точка M делит отрезок A1C1 в отношении 1:3 , считая от A1 . Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки K , L , M .
В треугольнике ABC известно, что
BAC =
,
ABC =
, BC = a, AD — высота. На стороне
AB взята точка P, причём
=
.
Через точку P проведена окружность, касающаяся стороны
BC в точке D. Найдите радиус этой окружности.
|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC известно, что
BAC =
,
ABC =
, BC = a, AD — высота. На стороне
AB взята точка P, причём
=
.
Через точку P проведена окружность, касающаяся стороны
BC в точке D. Найдите радиус этой окружности.
Подсказка
Пусть O — центр данной окружности. Примените теорему косинусов к треугольнику AOP.
Решение
Заметим, что центр O данной окружности лежит на высоте AD. Обозначим AD = h, радиус окружности — r. Предположим, что точка O лежит между точками A и D. Тогда
Если точка A расположена между точками O и D, то решение
аналогично (в этом случае
AO = r - h, а
cosOAP = - sin
).
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 970 |
