Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?

   Решение

Доказать, что при любом целом положительном n сумма     больше ½.

   Решение

Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).

   Решение

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 6k + 5  бесконечно.

   Решение

Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.

   Решение

В круге с центром O проведена хорда AB. Вычислите площадь получившегося сегмента, если  ∠AOB = α,  а радиус круга равен r.

   Решение

Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n² равна 100?

   Решение

Доказать, что число 100...001, в котором  2¹⁹⁷⁴ + 2¹⁰⁰⁰ – 1  нулей, составное.

   Решение

В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30^o. Доказать, что треугольник ABC правильный.

   Решение

К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

   Решение

Решить в целых числах уравнение  x + y = x² – xy + y².

   Решение

Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)

   Решение

Доказать, что в десятичной записи чисел  2ⁿ + 1974ⁿ и 1974ⁿ  содержится одинаковое количество цифр.

   Решение

Дискриминанты трёх приведённых квадратных трёхчленов равны 1, 4 и 9.
Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.

   Решение

Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит его сторону, и радиус вписанной окружности.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит его сторону, и радиус вписанной окружности.

Подсказка

Центр вписанной окружности треугольника лежит на перпендикуляре к стороне треугольника, проведённом через точку касания.

Решение

Предположим, что искомый треугольник ABC построен. Пусть O — центр вписанной в него окружности, M — точка касания со стороной BC. Поскольку радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, точка O лежит на перпендикуляре к BC, проведённом через точку M. Отсюда вытекает следующее построение.

Проведём произвольную прямую. Возьмём на ней произвольную точку M. По разные стороны от этой точки отложим отрезки MB и MC, равные данным. Через точку M проведём прямую, перпендикулярную BC. На ней отложим отрезок MO, равный данному радиусу, и построим окружность с центром O и радиусом OM. Через точки B и C проведём касательные к этим окружностям. Они пересекутся в вершине A искомого треугольника.

Если хотя бы один из данных отрезков больше данного радиуса, задача имеет единственное решение. В остальных случаях решений нет.

Источники и прецеденты использования