В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AH_c, CH_a пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠MBK = 90°.

   Решение

Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

   Решение

С помощью циркуля и линейки на данной прямой MN постройте точку, из которой данный отрезок AB был бы виден под данным углом.

   Решение

На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)² попыток?

   Решение

На стороне треугольника взяты четыре точки K, P, H и M, являющиеся соответственно серединой этой стороны, основанием биссектрисы противоположного угла треугольника, точкой касания с этой стороной вписанной в треугольник окружности и основанием соответствующей высоты. Найдите KH, если KP = a, KM = b.

   Решение

В ромб вписана окружность. На какие четыре части она делится точками касания сторон, если острый угол ромба равен 37^o?

   Решение

Докажите, что  a² + b² + c² - (a - b)² - (b - c)² - (c - a)² 4S.

   Решение

Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

   Решение

Какие-то две команды набрали в круговом волейбольном турнире одинаковое число очков.
Докажите, что найдутся такие команды А, В и С, что А выиграла у В, В выиграла у С, а С выиграла у А.

   Решение

Даны m = 2n + 1 точек — середины сторон m-угольника. Постройте его вершины.

   Решение

Докажите, что в трёхзначном числе, кратном 37, всегда можно переставить цифры так, что новое число также будет кратно 37.

   Решение

Докажите, что две различные окружности касаются тогда и только тогда, когда они касаются некоторой прямой в одной и той же точке.

   Решение

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что две различные окружности касаются тогда и только тогда, когда они касаются некоторой прямой в одной и той же точке.

Решение

Пусть M — единственная общая точка окружностей с центрами O₁ и O₂. Докажем, что точка M лежит на прямой O₁O₂. Предположим, что это не так. Тогда точка, симметричная ей относительно прямой O₁O₂, также принадлежит обеим окружностям, что противоречит единственности общей точки окружностей.

Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно O₁O₂, является касательной к каждой из окружностей. Таким образом, доказано, что если окружности касаются, то существует прямая, которой они касаются в одной и той же точке.

Пусть теперь окружности с центрами O₁ и O₂ касаются некоторой прямой l в точке M. Тогда радиусы O₁M и O₂M перпендикулярны l, значит, точка M лежит на прямой O₁O₂. Предположим, что окружности имеют еще одну общую точку K, отличную от M. Тогда точка, симметричная точке K относительно прямой O₁O₂, также принадлежит обеим окружностям, что невозможно, т.к. две различные окружности не могут иметь три общие точки.

Таким образом, мы доказали, что если существует прямая, касающаяся каждой из двух различных окружностей в одной и той же точке, то эта точка — единственная общая точка окружностей, т.е. окружности касаются.

Источники и прецеденты использования