Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC высота AH равна медиане BM. Найдите угол MBC.

   Решение

---

На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке K . Найдите площадь треугольника CKB , если катет BC равен a и катета AC равен b .

   Решение

---

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что  BK : CK = FS : ES.

   Решение

---

Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?

   Решение

---

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите расстояние от центра вписанной окружности до высоты, опущенной на гипотенузу.

   Решение

---

С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p – простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение  a^p ≡ a (mod p).

   Решение

---

Дана прямоугольная трапеция. Окружность, построенная на меньшей боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны и делит её на отрезки, равные a и b. Найдите радиус окружности.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Известно, что эта окружность высекает на катетах отрезки, равные 12 и 18. Найдите катеты.

   Решение

---

На высоте CD, опущенной из вершины C прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB, как на диаметре построена окружность, которая пересекает катет AC в точке E, а катет BC в точке F. Найдите площадь четырёхугольника CFDE, если катет AC равен b, а катет BC равен a.

   Решение

---

Докажите, что число    (m, n ≥ 0)  целое.

   Решение

---

Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центр её описанной окружности лежит на большем основании.

   Решение

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центр её описанной окружности лежит на большем основании.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра окружности на меньшее основание трапеции.

Решение

Пусть O — центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 20 и BC = 12. По условию O — середина AD. Опустим перпендикуляр OM из центра окружности на основание BC. Так как диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то M — середина BC. Из прямоугольного треугольника OMC находим, что

Пусть CH — перпендикуляр. опущенный из вершины C на основание AD. Тогда

поэтому

Пусть O — центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 20 и BC = 12, CH — перпендикуляр. опущенный из вершины C на основание AD. Тогда

Поскольку точка C лежит на окружности с диаметром AD, то ACD = 90^o, поэтому CH — высота прямоугольного треугольника ACD, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,

Таким образом, AB = CD = 4, AC = 8.

Ответ

4, 8.

Источники и прецеденты использования