Версия для печати
Убрать все задачи

---

Как, не отрывая карандаша от бумаги, провести шесть отрезков таким образом, чтобы оказались зачёркнутыми 16 точек, расположенных в вершинах квадратной сетки 4×4?

   Решение

---

В записи *1*2*4*8*16*32*64 = 27 вместо знаков ''*'' поставьте знаки ''+'' или ''-'' так, чтобы равенство стало верным.

   Решение

---

На Нью-Васюковской валютной бирже за 11 тугриков дают 14 динаров, за 22 рупии – 21 динар, за 10 рупий – 3 талера, а за 5 крон – 2 талера. Сколько тугриков можно выменять за 13 крон?

   Решение

---

В ряд расположили n лампочек и зажгли некоторые из них. Каждую минуту после этого все лампочки, горевшие на прошлой минуте, гаснут, а те негоревшие лампочки, которые на прошлой минуте соседствовали ровно с одной горящей лампочкой, загораются. При каких n можно так зажечь некоторые лампочки в начале, чтобы потом в любой момент нашлась хотя бы одна горящая лампочка?

   Решение

---

Тангенсы углов треугольника – целые числа. Чему они могут быть равны?

   Решение

---

Как одним прямолинейным разрезом рассечь два лежащих на сковороде квадратных блина на две равные части каждый?

   Решение

---

В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?

   Решение

---

Натуральное число умножили последовательно на каждую из его цифр. Получилось 1995. Найдите исходное число.

   Решение

---

Решите ребус:  БАО×БА×Б = 2002.

   Решение

---

Расположите в кружочках (вершинах правильного десятиугольника) числа от 1 до 10 так, чтобы для любых двух соседних чисел их сумма была равна сумме двух чисел, им противоположных (симметричных относительно центра окружности).

   Решение

---

Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство  a³ + b³ + 3abc > c³.

   Решение

---

Существует ли такое шестизначное число A, что среди чисел  A, 2A, ..., 500000A  нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?

   Решение

---

Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева – не пятёрка?

   Решение

---

Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8 г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить ёжикам равные кусочки сыра?

   Решение

---

2002 год — год-палиндром, то есть одинаково читается справа налево и слева направо. Предыдущий год-палиндром был 11 лет назад (1991). Какое максимальное число годов-непалиндромов может идти подряд (между 1000 и 9999 годами)?

   Решение

---

Прямоугольник составлен из шести квадратов (см. правый рисунок). Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.

   Решение

---

Инопланетянин со звезды Тау Кита, прилетев на Землю в понедельник, воскликнул: ''А!''. Во вторник он воскликнул: ''АУ!'', в среду — ''АУУА!'', в четверг — ''АУУАУААУ!''. Что он воскликнет в субботу?

   Решение

---

В трапеции средняя линия равна 7, высота равна , а угол между диагоналями против основания равен 120^o. Найдите диагонали трапеции.

   Решение

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции средняя линия равна 7, высота равна , а угол между диагоналями против основания равен 120^o. Найдите диагонали трапеции.

Подсказка

Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную диагонали.

Решение

Через вершину C меньшего основания BC трапеции ABCD проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке P. Тогда

Обозначим AC = x, BD = CP = y. Поскольку ACP = 120^o, то

С другой стороны,

или xy = 60. Из системы

находим, что AC = x = 6, BD = y = 10 или AC = x = 10, BD = y = 6.

Ответ

6 и 10.

Источники и прецеденты использования