Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что числа 1, 2, ..., n ни при каком  n > 1  нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.

   Решение

---

Докажите, что сумма всех чисел вида ¹/_mn, где m и n – натуральные числа,  1 < m < n < 1986,  не является целым числом.

   Решение

---

Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плоскости Oxy рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса координатного угла — прямая y=x. Затем на графике функции отмечаются точки A₀(x₀,f(x₀)), A₁(x₁,f(x₁)),..., A_n(x_n,f(x_n)),... а на биссектрисе координатного угла — точки B₀(x₀,x₀), B₁(x₁,x₁),..., B_n(x_n,x_n),... Ломаная B₀A₀B₁A₁... B_nA_n... называется итерационной.
Постройте итерационные ломаные для следующих данных:
а) f (x) = 1 + ,    x₀ = 0, x₀ = 8;
б) f (x) = ,    x₀ = 2;
в) f (x) = 2x - 1,    x₀ = 0, x₀ = 1, 125;
г) f (x) = - + 6,     x₀ = ;
д) f (x) = x² + 3x - 3,    x₀ = 1, x₀ = 0, 99, x₀ = 1, 01;
е) f (x) = ,    x₀ = 0, x₀ = 8;
ж) f (x) = - + + 3,     x₀ = 3.

   Решение

---

Доказать, что из любых 27 различных натуральных чисел, меньших 100, можно выбрать два числа, не являющихся взаимно простыми.

   Решение

---

Зафиксируем числа a₀ и a₁. Построим последовательность {a_n} в которой

Выразите a_n через a₀, a₁ и n.

   Решение

---

Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.

   Решение

---

Докажите, что если  ^P_n/_Qn  (n ≥ 1)  – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств     или     Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей ^p/_q, что  |α – ^p/_q| < ¹/_2q².

   Решение

---

В стране несколько городов (больше одного); некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой, проезжая по нескольким дорогам. Кроме того, дороги не образуют циклов, то есть если выйти из некоторого города по какой-то дороге и далее двигаться так, чтобы не проходить по одной дороге дважды, то невозможно возвратиться в начальный город. Докажите, что в этой стране найдутся хотя бы два города, каждый из которых соединен дорогой ровно с одним городом.

   Решение

---

Здесь изображен фрагмент таблицы, которая называется треугольником Лейбница. Его свойства "аналогичны в смысле противоположности" свойствам треугольника Паскаля. Числа на границе треугольника обратны последовательным натуральным числам. Каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним. Найдите формулу, которая связывает числа из треугольников Паскаля и Лейбница.

   Решение

---

Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат на сторонах AB и BC соответственно, причём  BP = BQ.  Пусть H – основание перпендикуляра, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что угол DHQ – прямой.

   Решение

---

Можно ли шашечную доску размером 10×10 замостить плитками размером 1×4?

   Решение

---

Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
   рационально. Докажите, что для любого a из M число    рационально.

   Решение

---

В параллелограмме ABCD, не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла BAD. K и L – точки её пересечения с прямыми BC и CD соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки C, K и L, лежит на окружности, проведённой через точки B, C и D.

   Решение

---

Имеется таблица 1999×2001. Известно, что произведение чисел в каждой строке отрицательно.
Докажите, что найдётся столбец, произведение чисел в котором тоже отрицательно.

   Решение

---

Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

   Решение

Темы:    [ Радикальная ось ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 6 Классы: 8,9,10 Название задачи: Теорема Брианшона.

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

Решение

Пусть выпуклый шестиугольник ABCDEF касается окружности в точках  R, Q, T, S, P, U (точка R лежит на AB, Q — на BC и т. д.).
Выберем произвольное число a > 0 и построим на прямых BC и EF точки Q' и P' так, что QQ' = PP' = a, а векторы  и  сонаправлены с векторами  и  . Аналогично строим точки  R', S', T', U' (рис.;  RR' = SS' = TT' = UU' = a). Построим окружность S₁, касающуюся прямых BC и EF в точках Q' и P'. Аналогично построим окружности S₂ и S₃.
Докажем, что точки B и E лежат на радикальной оси окружностей S₁ и S₂.  BQ' = QQ' - BQ = RR' - BR = BR' (если QQ' < BQ, то  BQ' = BQ - QQ' = BR - RR' = BR') и  EP' = EP + PP' = ES + SS' = ES'. Аналогично доказывается, что прямые FC и AD являются радикальными осями окружностей S₁ и S₃, S₂ и S₃ соответственно. Так как радикальные оси трех окружностей пересекаются в одной точке, прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования