На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади K.

   Решение

Докажите, что = tgtg.

   Решение

Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.

   Решение

Дано число: 123456789101112... . Какая цифра стоит на 2000-м месте?

   Решение

На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M, отличная от C. Докажите, что MA + MB > CA + CB.

   Решение

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников A₁A₂B₃, A₁B₂A₃ и B₁A₂A₃ проходят через одну точку, то и описанные окружности треугольников B₁B₂A₃, B₁A₂B₃ и A₁B₂B₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

Докажите, что если  ctg(/2) = (b + c)/a, то треугольник прямоугольный.

   Решение

Даны четыре окружности, причем окружности S₁ и S₃ пересекаются с обеими окружностями S₂ и S₄. Докажите, что если точки пересечения S₁ с S₂ и S₃ с S₄ лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения S₁ с S₄ и S₂ с S₃ лежат на одной окружности или прямой (рис.).

   Решение

Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.

   Решение

Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

   Решение

ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что a + b < c + h_c.

   Решение

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

   Решение

Темы:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

Решение

Пусть P, Q, R, S, T — точки пересечения окружностей S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, о которых говорится в условии (см. рис.). Докажем, например, что точки P, Q, R, S лежат на одной окружности. Проведем окружность , описанную около треугольника NKD. Применяя результат задачи 2.83, а) (совпадающей с 19.45) к четырехугольникам AKDE и BNDC, получаем, что окружности S₄, S₅ и  пересекаются в одной точке (в точке P) и окружности S₂, S₃, тоже пересекаются в одной точке (в точке S). Следовательно, окружность  проходит через точки P и S. Заметим теперь, что из восьми точек пересечения окружностей , S₁, S₂, S₅ четыре, а именно N, A, B, K лежат на одной прямой. Следовательно, согласно задаче 28.31 оставшиеся четыре точки P, Q, R, S лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования