Версия для печати
Убрать все задачи

---

Для любых чисел a₁ и a₂, удовлетворяющих условиям  a₁ ≥ 0,  a₂ ≥ 0,  a₁ + a₂ = 1,  можно найти такие числа b₁ и b₂, что  b₁ ≥ 0,  b₂ ≥ 0,  b₁ + b₂ = 1,
(⁵/₄ – a₁)b₁ + 3(⁵/₄ – a₂)b₂ > 1.  Доказать.

   Решение

---

Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел  ac + bd,  ae + bf,  ag + bh,  ce + df,  cg + dh,  eg + fh  неотрицательно.

   Решение

---

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

   Решение

---

На каждом борту лодки должно сидеть по четыре человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причём десять человек хотят сидеть на левом борту лодки, двенадцать – на правом, а девяти безразлично где сидеть?

   Решение

---

На листе бумаги отмечены точки A, B, C, D. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник ABCD квадратом?

   Решение

---

Число рёбер многогранника равно 100.
  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
  в) но не может равняться 100.

   Решение

---

Пусть x, y, z – положительные числа и  xyz(x + y + z) = 1.  Найдите наименьшее значение выражения  (x + y)(x + z).

   Решение

---

Решите уравнения при 0^o < x < 90^o:

a)  + = 2;

б)  + = ;

в)  + = .

   Решение

---

Докажите равенство:

   Решение

---

Решить уравнение  x³ – [x] = 3.

   Решение

---

Докажите, что 3, 5 и 7 являются единственной тройкой простых чисел-близнецов.

   Решение

---

На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Малыш и Карлсон берут их по очереди, начинает Малыш. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Малыш хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Карлсон пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Малыш может достичь своей цели, как бы ни действовал Карлсон?

   Решение

---

Докажите для любых натуральных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ неравенство  $\bigg\lfloor\frac{a_1^2}{a_2}\bigg\rfloor + \bigg\lfloor\frac{a_2^2}{a_3}\bigg\rfloor + ... + \bigg\lfloor\frac{a_n^2}{a_1}\bigg\rfloor \geqslant a_1 + a_2 + ... +a_n$.  ([$x$] – целая часть числа $x$.)

   Решение

---

Даны натуральные числа x₁, ..., x_n. Докажите, что число      можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

   Решение

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Даны натуральные числа x₁, ..., x_n. Докажите, что число      можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Подсказка

Утверждение немедленно следует из того, что произведение двух сумм двух квадратов является суммой двух квадратов (см. задачу 61078).

Замечания

Один из квадратов может быть и нулевым. Например,  (1² + 1) (1² + 1) = 4 = 2² + 0².  Однако если исходные числа различны, то ни на каком шаге нулевой квадрат не появляется.

Источники и прецеденты использования