Информация о задаче

Выбрано 14 задач

Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?

Число x таково, что число x + ${\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном n число xⁿ + ${\frac{1}{x^n}}$ также является целым.

Решение

Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного тетраэдра между серединами его противоположных рёбер.

Решение

Пусть a₀, a₁, ..., a_n, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T a_n+T = a_n (n ≥ 0). Докажите, что
а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
б) T делится на t.

Решение

Автор: Анджанс А.

Имеется 50 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 51 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за семь взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 51-е место?

Решение

Верно ли, что два графа изоморфны, если
а) у них по 10 вершин, степень каждой из которых равна 9?
б) у них по 8 вершин, степень каждой из которых равна 3?
в) они связны, без циклов и содержат по 6 рёбер?

Решение

Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между серединой его ребра и наиболее удалённой от неё точки поверхности куба.

Решение

В графе все вершины имеют степень 3. Докажите, что в нём есть цикл.

Решение

План города имеет схему, представляющую собой прямоугольник 5×10 клеток. На улицах введено одностороннее движение: разрешается ехать только вправо и вверх. Сколько есть различных маршрутов, ведущих из левого нижнего угла в правый верхний?

Решение

Нарисуйте на плоскости шесть точек так, чтобы они служили вершинами ровно для 17 треугольников.

Решение

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$ .

б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что $\angle$ CAM = $\angle$ ABN и $\angle$ CBM = $\angle$ BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.

Решение

Даны три прямые l₁, l₂ и l₃, пересекающиеся в одной точке, и точка A на прямой l₁. Постройте треугольник ABC так, чтобы точка A была его вершиной, а биссектрисы треугольника лежали на прямых l₁, l₂ и l₃.

Решение

Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого a, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что a $\leqslant$ k < n вытекает его справедливость для n, то это утверждение верно для всех натуральных чисел k $\geqslant$ a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

Решение

При каких целых n число n⁴ + 4 – составное?

Решение

Условие

Подсказка

Решение

Ответ

Источники и прецеденты использования