Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n2 так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n, – в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно?
По окружности $\Omega$ движется точка $P$. На окружности $\Omega$ зафиксированы точки $A$ и $B$. Точка $C$ – произвольная точка внутри круга с границей $\Omega$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $APC$ и $BCP$, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что все точки $Q$ лежат на двух фиксированных прямых.
Дан треугольник ABC, O – центр его описанной окружности. Проекции точек D и X на стороны треугольника лежат на прямых l и L, причём
l || XO. Докажите, что прямая L образует равные углы с прямыми AB и CD.
Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$, $Q$, $R$ соответственно так, что $AP=PR$, $CQ=QR$. Точка $H$ – ортоцентр треугольника $PQR$, точка $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $OH \parallel AC$.
Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём в его середине?
Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что AP = BQ.
Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Аналогично определяются точки Ba, Bc, Ca и Cb. Точку D назовём хорошей, если точки Ab, Ac, Ba, Bc, Ca и Cb лежат на одной окружности.
Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?
В треугольнике ABC прямая m касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр I окружности ω и перпендикулярные AI, BI, CI, пересекают прямую m в точках A', B', C' соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.
В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, а диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ пересекаются в одной точке. Обозначим через $l_i$ радикальную ось окружностей $A_iA_{i+1}A_{i-2}$ и $A_iA_{i-1}A_{i+2}$ (мы считаем, что точки $A_i$ и $A_{i+6}$ совпадают). Докажите, что прямые $l_i$, $i=1,\ldots,6$, пересекаются в одной точке.
Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $T$, такая что $\angle ATB = \angle BTC = 120^\circ$. Окружность с центром $E$ проходит через середины сторон треугольника $ABC$. Оказалось, что точки $B,T,E$ лежат на одной прямой. Найдите угол $ABC$.
Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках La, Lb, Lc. Перпендикуляр, восставленный из точки La к BC, пересекает AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Точка Oa – центр описанной окружности треугольника AAbAc. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите, что Oa, Ob и Oc лежат на одной прямой.
a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля.
Докажите, что уравнение ax + by = c имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на d = НОД(a, b).
|
|
 |
Условие
a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля.
Докажите, что уравнение ax + by = c имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на d = НОД(a, b).
Решение
Необходимость. Любое число вида ax + by делится на d.
Достаточность. Достаточно проверить, что имеет решение уравнение ax + by = d. Кроме того, можно считать, что a и b положительны. Первый способ. См. задачу 60488 б. Второй способ. Рассмотрим наименьшее натуральное число m, являющееся линейной комбинацией чисел a и b (то есть представимое в виде ax + by). Разделим a на m с остатком: a = qm + r. Число r = a – qm также является линейной комбинацией чисел a и b, но оно меньше m. Значит, r = 0, то есть a кратно m. Аналогично b кратно m. Следовательно, и d делится на m, и поэтому является линейной комбинацией чисел a и b. Третий способ. Разделив на d, мы сведём задачу к случаю взаимно простых чисел a и b.Для каждого целого c рассмотрим на координатной плоскости прямую lc, заданную уравнением ax + by = c. Все эти прямые параллельны.
Построим параллелограмм P с вершинами (0, 0), (0, 1), (b, 1 – a), (b, – a), две меньшие стороны которого равны 1, а большие лежат на прямых l0 и lb. Этот параллелограмм пересекают прямые l1, l2, ..., lb–1 (и никакие другие из рассматриваемого семейства). Абсциссы соседних целых точек на каждой из этих прямых отличаются на b (см. задачу 60514), поэтому каждая из них содержит не более одной целой точки, принадлежащей P. Две верхние (нижние) вершины параллелограмма как раз и являются соседними целыми точками на прямой lb (l0), поэтому на сторонах P нет целых точек, отличных от вершин. Следовательно, на каждой из прямых x = 1, x = 2, ..., x = b – 1 есть ровно по одной целой точке, лежащей внутри P. Всего таких точек b – 1. Каждая из них лежит на одной из прямых l1, l2, ..., lb–1. Значит, на каждой из этих прямых лежит по одной из этих точек. В частности, есть целая точка на прямой l1. Это и значит, что уравнение ax + by = 1 имеет решение в целых числах.
Замечания
1. Из второго способа ясно, что m = d, то есть
НОК(a, b) является наименьшим натуральным числом, представимым в виде ax + by.
2. В указанном источнике была другая, но практически эквивалентная формулировка (см. задачу 60488 б).
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики |
| Тема | Алгебра и арифметика |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Алгоритм Евклида |
| Тема | Алгоритм Евклида |
| задача | |
| Номер | 03.037 |
