Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существуют ли такие три квадратных трёхчлена, что каждый из них имеет два различных действительных корня, а сумма любых двух из них действительных корней не имеет?

   Решение

---

Правильный треугольник разбит на правильные треугольники со стороной 1 линиями, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на n частей (на рисунке  n = 5).

Какое наибольшее число отрезков длины 1 с концами в вершинах этих треугольников можно отметить так, чтобы не нашлось треугольника, все стороны которого состоят из отмеченных отрезков?

   Решение

---

Существуют ли такие три квадратных трёхчлена, что каждый из них имеет корень, а сумма любых двух из них корней не имеет?

   Решение

---

Можно ли расставить охрану вокруг точечного объекта так, чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было незаметно подкрасться? (Каждый часовой стоит неподвижно и видит на 100 м строго вперёд.)

   Решение

---

Натуральное число N в 999...99 (k девяток) раз больше суммы своиx цифр. Укажите все возможные значения k и для каждого из них приведите пример такого числа.

   Решение

---

Две команды КВН участвуют в игре из четырёх конкурсов. За каждый конкурс каждый из шести судей выставляет оценку – целое число от 1 до 5; компьютер находит среднее арифметическое оценок за конкурс и округляет его с точностью до десятых. Победитель определяется по сумме четырёх полученных компьютером значений. Может ли оказаться, что сумма всех оценок, выставленных судьями, у проигравшей команды больше, чем у выигравшей?

   Решение

---

У Васи есть 100 банковских карточек. Вася знает, что на одной из карточек лежит 1 рубль, на другой – 2 рубля, и так далее, на последней – 100 рублей, но не знает, на какой из карточек сколько денег. Вася может вставить карточку в банкомат и запросить некоторую сумму. Банкомат выдает требуемую сумму, если она на карточке есть, не выдает ничего, если таких денег на карточке нет, а карточку съедает в любом случае. При этом банкомат не показывает, сколько денег было на карточке. Какую наибольшую сумму Вася может гарантированно получить?

   Решение

---

Найдите все такие функции  f(x), что  f(2x + 1) = 4x² + 14x + 7.

   Решение

---

В некоторой стране суммарная зарплата 10% самых высокооплачиваемых работников составляет 90% зарплаты всех работников. Может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10% работников составляет не более 11% всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе?

   Решение

---

Андрей и Борис играют в следующую игру. Изначально на числовой прямой в точке p стоит робот. Сначала Андрей говорит расстояние, на которое должен сместиться робот. Потом Борис выбирает направление, в котором робот смещается на это расстояние, и т.д. При каких p Андрей может добиться того, что за конечное число ходов робот попадет в одну из точек 0 или 1 вне зависимости от действий Бориса?

   Решение

---

Можно ли расставить на футбольном поле четырёх футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров?

   Решение

---

Найдите рациональное число, которое отличается от числа
  а)  α = ;   б)  α = 2 + ;   в)  α = 3 +   не более чем на 0,0001.

   Решение

Темы:    [ Приближения чисел ] [ Цепные (непрерывные) дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите рациональное число, которое отличается от числа
  а)  α = ;   б)  α = 2 + ;   в)  α = 3 +   не более чем на 0,0001.

Решение

  а) Разложение числа     в цепную дробь известно из задачи 60613, подходящие дроби вычислены в замечании к задаче 60614. Поскольку     (см. задачу 60602), то подходит дробь  ^P₅/_Q5 = ⁹⁹/₇₀.

  б) Разложим число   α = 2 +   в цепную дробь.     Следовательно,  α = [4, (4)].  Вычисляя подходящие дроби, получаем  P₃ = 305,  Q₃ = 72,  Q₄ = 305.  Поскольку  Q₃Q₄ > 10000,  подходит дробь  ^P₃/_Q3 = ³⁰⁵/₇₂.

  в) Разложим число  β = 3 +   в цепную дробь.     
Следовательно,  β – 1 = [4, (1, 1, 1, 4)],  а  β = [5, (1, 1, 1, 4)].  Вычисляя подходящие дроби, получаем  P₇ = 271,  Q₇ = 48,  Q₈ = 223.  Поскольку
Q₇Q₈ > 10000,  подходит дробь  ^P₇/_Q7 = ²⁷¹/₄₈.

Ответ

а) ⁹⁹/₇₀;   б) ³⁰⁵/₇₂;   в) ²⁷¹/₄₈.

Источники и прецеденты использования