На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Даны 4 точки: A, B, C, D. Найти такую точку O, что сумма расстояний от неё до данных точек минимальна.

   Решение

В описанном четырёхугольнике ABCD  AB = CD ≠ BC.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.

   Решение

Постройте правильный десятиугольник.

   Решение

Прямая, проходящая через вершину A квадрата ABCD, пересекает сторону CD в точке E и прямую BC в точке F. Докажите, что  ¹/_AE² + ¹/_AF² = ¹/_AB².

   Решение

Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (a, b)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля  (a, b)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (a ± m, b ± n),  (a ± n, b ± m),  где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.

   Решение

а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

   Решение

11 пионеров занимаются в пяти кружках дома культуры. Докажите, что найдутся два пионера А и В такие, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.

   Решение

Докажите неравенство для натуральных n:  

   Решение

Докажите неравенство:  2ⁿ > n.

   Решение

При каких n многочлен  (x + 1)ⁿ + xⁿ + 1  делится на:
  а)  x² + x + 1;    б)  (x² + x + 1)²;    в)   (x² + x + 1)³?

   Решение

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ] [ Производная и кратные корни ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

При каких n многочлен  (x + 1)ⁿ + xⁿ + 1  делится на:
  а)  x² + x + 1;    б)  (x² + x + 1)²;    в)   (x² + x + 1)³?

Решение

  Пусть  Q(x) = (x + 1)ⁿ + xⁿ + 1,  P(x) = x² + x + 1,  тогда  x + 1 ≡ – x²,  x³ ≡ 1 (mod P)  (сравнение многочленов аналогично сравнению чисел).

  а)  Q(x) ≡ (–1)ⁿx²ⁿ + xⁿ + 1 (mod P).  Разберём все возможные случаи.
  1)  n кратно 3. Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ + xⁿ + 1 ≡ (–1)ⁿ + 2 (mod P),  а этот многочлен на P не делится.
  2)  n ≡ 1 (mod 6).  Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ + xⁿ + 1 ≡ – x² + x + 1 ≡ 2x + 2 (mod P).
  3)  n ≡ 2 (mod 6).  Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ + xⁿ + 1 ≡ x + x² + 1 ≡ 0 (mod P).
  4)  n ≡ 4 (mod 6).  Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ + xⁿ + 1 ≡ x² + x + 1 ≡ 0 (mod P).
  5)  n ≡ 5 (mod 6).  Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ + xⁿ + 1 ≡ – x + x² + 1 ≡ 2x + 2 (mod P).
  Таким образом, Q делится на P при  n ≡ 2, 4 (mod 6).  В частности, n чётно.

  б) Поскольку комплексные корни многочлена P различны, достаточно проверить, делится ли Q' на P.
Q'(x) = n(x + 1)^n–1 + nx^n–1 ≡ n(x^n–1 – (–1)ⁿx^2n–2) ≡ n(x^n–1 – x^2n–2) (mod P).
  При  n ≡ 1 (mod 3)   x^n–1 – x^2n–2 ≡ 1 – 1 ≡ 0 (mod P).
  При  n ≡ 2 (mod 3)   x^n–1 – x^2n–2 ≡ x – x² ≡ 2x + 1 (mod P).
  Таким образом, Q делится на P² при  n ≡ 4 (mod 6).

  в)  Q" = n(n – 1)((x + 1)^n–2 + x^n–2) ≡ n(n – 1)(x^2n–4 + x^n–2) ≡ n(n – 1)(x + x²) ≡ – n(n – 1) (mod P).  Поскольку  n > 1,  то Q никогда не делится на P³.

Ответ

а)  n = 6k ± 2;    б)  n = 6k – 2;    в) ни при каких.

Источники и прецеденты использования