Основание CD, диагональ BD и боковая сторона AD трапеции ABCD равны p. Боковая сторона BC равна q. Найдите диагональ AC.

   Решение

Даны две окружности радиусов R и r, одина вне другой. К ним проведены две общие внешние касательные. Найдите их длину (между точками касания), если их продолжения образуют прямой угол. (R > r).

   Решение

Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если  S(a) = S(2a),  то число a делится на 9.

   Решение

Имеется n случайных векторов вида  (y₁, y₂, y₃),  где ровно одна случайная координата равна 1, остальные равны 0. Их складывают. Получается случайный вектор a с координатами  (Y₁, Y₂, Y₃).
  а) Найдите математическое ожидание случайной величины a².
  б) Докажите, что  

   Решение

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

   Решение

Докажите, что если  α < β  и  αβ ≠ 0,   то  S_α(x) ≤ S_β(x).
Определение средних степенных S_α(x) можно посмотреть в справочнике.

   Решение

В стране Ориентация на всех дорогах введено одностороннее движение, причём из каждого города в любой другой можно добраться, проехав не более чем по двум дорогам. Одну дорогу закрыли на ремонт так, что из каждого города по-прежнему можно добраться до любого другого. Докажите, что для каждых двух городов это можно сделать, проехав не более чем по трём дорогам.

   Решение

Доказать, что при любой расстановке знаков "+" и "−" у нечётных степеней x выполнено неравенство
x²ⁿ ± x^2n–1 + x^2n–2 ± x^2n–3 + ... + x⁴ ± x³ + x² ± x + 1 > ½  (x – произвольное действительное число, а n – натуральное).

   Решение

В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением.
Доказать, что существует город, из которого можно проехать в любой другой не более чем по двум дорогам.

   Решение

В турнире каждый шахматист половину всех очков набрал во встречах с участниками, занявшими три последних места.
Сколько всего человек принимало участие в турнире?

   Решение

Рассмотрим графики функций  y = x² + px + q,  которые пересекают оси координат в трёх различных точках.
Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку.

   Решение

Докажите, что в любой арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, найдутся два члена с одинаковой суммой цифр.

   Решение

Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма
  а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника;
  б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна  2 arctg ⁴/₃;  а среди треугольников с тупым углом, меньшим  2 arctg ⁴/₃,  имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.

   Решение

Доказать: число делителей n не превосходит 2.

   Решение

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

   Решение

Сколько корней на отрезке  [0, 1]  имеет уравнение   8x(1 – 2x²)(8x⁴ – 8x² + 1) = 1?

   Решение

Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Тригонометрические замены ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Сколько корней на отрезке  [0, 1]  имеет уравнение   8x(1 – 2x²)(8x⁴ – 8x² + 1) = 1?

Решение

Заметим, что  8x⁴ – 8x² + 1 = 2(2x² – 1)² – 1.  Сделав замену  x = cos φ,  получим  8 cos φ cos 2φ cos 4φ = – 1.  Домножив на sin φ, получим  sin 8φ = – sin φ,
откуда  8φ = – φ + 2kπ  или  8φ = π + φ + 2kπ,  то есть  x = cos ^2kπ/₉  или  x = cos (^π/₇ + ^2kπ/₇).  На отрезке  [0, 1]  лежат четыре корня уравнения:  cos ^2π/₉, cos ^4π/₉, cos ^π/₇  и  cos ^3π/₇  (корень  x = 1  – посторонний, он возник при умножении на sin φ).

Ответ

Четыре корня.

Замечания

Всего указанное уравнение 7-й степени имеет 7 корней: к указанным в решении добавляются еще
cos ^2π/₃ = – ½,  cos ^8π/₉ = – cos ^π/₉  и  cos ^5π/₇ = – cos ^2π/₇.

Источники и прецеденты использования