Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

   Решение

---

Коля Васин задумал число от 1 до 200. За какое наименьшее число вопросов вы сможете его отгадать, если он отвечает на каждый вопрос
а) ``да'' или ``нет'';
б) ``да'', ``нет'' или ``не знаю''?

   Решение

---

Докажите, что связный граф с 2n нечётными вершинами можно нарисовать, оторвав карандаш от бумаги ровно  n –1  раз и не проводя никакое ребро дважды.

   Решение

---

Все углы выпуклого многоугольника A₁...A_n равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами.
Докажите, что этот многоугольник правильный.

   Решение

---

Для последовательности {a_n}

Докажите, что a_n = 0.

   Решение

---

Аня, Ваня и Саня сели в автобус, не имея медных монет, однако сумели заплатить за проезд, потратив по пять копеек каждый. Как им это удалось?

   Решение

---

При каких натуральных a и b число log_ab будет рациональным?

   Решение

---

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

   Решение

---

Постройте прямоугольник с данным отношением сторон, зная по одной точке на каждой из его сторон.

   Решение

---

Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m² - n², а гипотенуза равна m² + n², где m и n — натуральные числа.

   Решение

---

Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату - 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты.

   Решение

---

Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).
Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.

   Решение

---

Докажите иррациональность следующих чисел:

а)   ;

б)   ;

в)   ;

г)   ;

д)  cos 10° ;

е)  tg 10° ;

ж)  sin 1° ;

з)  log₂3 .

   Решение

---

Докажите, что для чисел {x_n} из задачи 61297 можно в явном виде указать разложения в цепные дроби:  x_n+1 = [1;].
Оцените разность  |x_n – |.

   Решение

Темы:    [ Линейные рекуррентные соотношения ] [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для чисел {x_n} из задачи 61297 можно в явном виде указать разложения в цепные дроби:  x_n+1 = [1;].
Оцените разность  |x_n – |.

Решение

  Подходящие дроби  ^P_k/_Qk  к разложению   = [1; (2)]  в цепную дробь удовлетворяют рекуррентным соотношениям  P_–1 = 1,  P₀ = 1,  P_k = 2P_k–1 + P_k–2;
Q_–1 = 0,  Q₀ = 1,  Q_k = 2Q_k–1 + Q_k–2  (см. задачи 60613, 60601). Отсюда по индукции легко вывести соотношения  P_k = Q_k + Q_k–1;  2Q_k = P_k + P_k–1.
  Пусть  x_n = ^P_k/_Qk,  где  k = 2^n–1 – 1.  Дробь x_n+1 получается из дроби     заменой последней двойки на  1 + ^P_k/_Qk.  По аналогии с формулой из решения задачи 60616 имеем

  Таким образом, {x_n} – последовательность из задачи 61297.
  Поскольку  Q_k > 2Q_k–1  при  k > 2,  то  Q_k > 2^k.
 

Источники и прецеденты использования