Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную величину.
Углы треугольника равны α, β и γ, а периметр равен P. Найдите стороны треугольника.
Длины сторон параллелограмма равны a и b, длины
диагоналей — m и n. Докажите, что
a4 + b4 = m2n2 тогда и
только тогда, когда острый угол параллелограмма равен
45o.
В треугольнике ABC угол B равен 60o, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и точке, в которой её касается вписанная окружность.
Докажите, что предельная точка пучка является общей точкой окружностей
ортогонального пучка, и наоборот.
Основание наклонной призмы – равносторонний треугольник со стороной a . Одно из боковых рёбер равно b и образует с прилежащими сторонами основания углы 45o . Найдите боковую поверхность призмы.
Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A1, B1 и C1 выбраны
так, что треугольники BA1C, CB1A и AC1B собственно подобны. Докажите,
что треугольник A1B1C1 равносторонний тогда и только тогда, когда
указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом
120o при вершинах A1, B1 и C1.
Найдите углы и стороны четырёхугольника с вершинами в серединах сторон равнобедренной трапеции, диагонали которой равны 10 и пересекаются под углом 40o.
На сторонах AB и CB треугольника ABC откладываются равные отрезки произвольной длины AD и CE. Найти геометрическое место середин отрезков DE.
Концы отрезка AB принадлежат граням двугранного угла, равного ϕ . Расстояния AA1 и BB1 от точек A и B до ребра двугранного угла равны a и b соответственно, A1B1 = c . Найдите AB .
Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:
– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.
– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.
Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке L. В треугольнике ABL отметили точку пересечения высот H, а в треугольниках BCL, CDL и DAL – центры O1, O2 и O3 описанных окружностей. Затем весь рисунок, кроме точек H, O1, O2, O3, стерли. Восстановите его.
|
|
 |
Условие
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке L. В треугольнике ABL отметили точку пересечения высот H, а в треугольниках BCL, CDL и DAL – центры O1, O2 и O3 описанных окружностей. Затем весь рисунок, кроме точек H, O1, O2, O3, стерли. Восстановите его.
Решение
Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABL (см. рис.). Тогда прямые OO1 и O2O3 перпендикулярны BD, а прямые O1O2 и O3O перпендикулярны AC. Следовательно, OO1O2O3 – параллелограмм. Построив его, мы восстановим серединные перпендикуляры OO1 и OO3 к сторонам LB и LA треугольника ABL. Прямые ha, hb, проходящие через ортоцентр H этого треугольника и параллельные OO1 и OO3, являются высотами этого треугольника, то есть проходят через точки A и B соответственно. Поэтому прямые, симметричные ha, hb относительно соответственно OO3, OO1, пересекаются в точке L. Дальнейшее построение очевидно.
