Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Квадрат разрезали на n прямоугольников размером ai×bi, i = 1, ..., n.
При каком наименьшем n в наборе {a1, b1, ..., an, bn} все числа могут оказаться различными?
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K и L
так, что
BK : KC = CL : LD. Докажите, что центр масс
треугольника AKL лежит на диагонали BD.
Даны точки
A1,..., An. Рассмотрим окружность
радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем
окружность радиуса R с центром в центре масс точек,
лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что
этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.
Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ – основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, вписанная в треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$, касается сторон $A_{1}B_{1}, A_{1}C_{1}, B_{1}C_{1}$ в точках $C_{2}, B_{2}, A_{2}$. Докажите, что прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника $ABC$.
Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет
вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих
треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных
треугольников, равно 2n + 3m - 3.
Докажите, что если точку отразить симметрично относительно точек O1,
O2 и O3, а затем еще раз отразить симметрично относительно этих
же точек, то она вернется на место.
Периметр выпуклого четырехугольника равен 4.
Докажите, что его площадь не превосходит 1.
Вершины $M$, $N$, $K$ прямоугольника $KLMN$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $CA$ соответственно правильного треугольника $ABC$ так, что $AM=2$, $KC=1$, а вершина $L$ лежит вне треугольника. Найдите угол $KMN$.
На встречу выпускников пришло 45 человек. Оказалось, что любые двое из них, имеющие одинаковое число знакомых среди пришедших, не знакомы друг с другом. Какое наибольшее число пар знакомых могло быть среди участвовавших во встрече?
Пусть O, I – центры описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника; R, r – радиусы этих окружностей; J – точка, симметричная вершине прямого угла относительно I. Найдите OJ.
|
|
 |
Условие
Пусть O, I – центры описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника; R, r – радиусы этих окружностей; J – точка, симметричная вершине прямого угла относительно I. Найдите OJ.
Решение 1
Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник, ∠C = 90°. Очевидно, что окружность с центром J и радиусом 2r касается AC и BC. Докажем, что она касается также описанной окружности Ω треугольника ABC; отсюда как раз и будет следовать, что OJ = R – 2r.
Рассмотрим окружность ω, касающуюся AC, BC в точках P, Q соответственно, и касающуюся Ω изнутри в точке T; нам надо доказать, что J – центр ω. Так как T – центр гомотетии ω и Ω, прямые TP, TQ вторично пересекают описанную окружность в точках, касательные в которых параллельны AC и BC, то есть в серединах B', A' дуг AC, C. Поэтому прямые AA' и BB' пересекаются в точке I. По теореме Паскаля (см. задачу 57105), применённой к ломаной CAA'TB'B, точки P, I, Q лежат на одной прямой. Поскольку прямая PQ перпендикулярна биссектрисе угла C, P, Q – проекции J на AC и BC, что и означает, что J – центр ω.
Решение 2
По формуле Эйлера (см. задачу 52464) OI² = R(R – 2r). Поскольку OI – медиана треугольника OCJ, 4OI² = 2(OC² + OJ²) – CJ², или
4R(R – 2r) = 2R² + 2OJ² – 8r², откуда и следует, что OJ² = (R – 2r)².
Ответ
R – 2r.
