Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Назовем тропинкой замкнутую траекторию на плоскости, состоящую из дуг окружностей и проходящую через каждую свою точку ровно один раз. Приведите пример тропинки и такой точки M на ней, что любая прямая, проходящая через M, делит тропинку пополам, то есть сумма длин всех кусков тропинки в одной полуплоскости равна сумме длин всех кусков тропинки в другой полуплоскости.
Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите площадь треугольника.
У Ивана-царевича есть два волшебных меча. Первым он может отрубить Змею Горынычу 21 голову. Вторым – 4 головы, но при этом у Змея Горыныча отрастает 2006 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов? (Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя.)
Пусть f(x)=x2+ax+b cos x . Найдите все значения параметров a и b , при которых уравнения f(x)=0 и f(f(x))=0 имеют совпадающие непустые множества действительных корней.
Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
рационально. Докажите, что для любого a из M число
рационально.
В колоде 52 карты, по 13 каждой масти. Ваня вынимает из колоды по одной карте. Вынутые карты в колоду не возвращаются. Каждый раз перед тем, как вынуть карту, Ваня загадывает какую-нибудь масть. Докажите, что если Ваня каждый раз будет загадывать масть, карт которой в колоде осталось не меньше, чем карт любой другой масти, то загаданная масть совпадет с мастью вынутой карты не менее 13 раз.
Окружность S с центром O и окружность S' пересекаются в точках A и B. На дуге окружности S, лежащей внутри S', взята точка C. Точки пересечения прямых AC и BC с S', отличные от A и B, обозначим через E и D соответственно. Докажите, что прямые DE и OC перпендикулярны.
В первые 1999 ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа: 1, 2, 4, 21998 . Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если в одной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается, и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечь себя от финансовых потерь независимо от ходов партнера, и как он должен для этого действовать?
a, b и n – натуральные числа, и n нечётно. Докажите, что если числитель и знаменатель дроби делятся на n, то и сама дробь делится на n.
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть описанные окружности S1 и S2 треугольников ABO и CDO второй раз пересекаются в точке K. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S1 и S2 в точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P и Q, причём OP : PL = MQ : QO. Докажите, что точки O, K, P, Q лежат на одной окружности.
У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово, записанное в обратном порядке.
Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB взята такая точка M, что угол MAB на 15° больше угла MAC, а угол MCB на 15° больше угла MBC. Найдите угол BMC.
Условие
Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB взята такая точка M, что угол MAB на 15° больше угла MAC, а угол MCB на 15° больше угла MBC. Найдите угол BMC.
Решение
Пусть точка X пересечения AM и высоты CH треугольника ABC лежит на отрезке AM (см. рис.; в конце решения мы покажем, что другой случай невозможен).
Из условия следует, что ∠BAX = 30°. Поэтому ∠CXM = ∠AXH = 90° – ∠XAH = 60°. Поскольку CH также является медианой треугольника ABC, то треугольник AXB – равнобедренный, то есть ∠BXH = 60°. Следовательно, и ∠BXM = 60°.
Рассмотрим отдельно треугольник CXB. В нём ∠XCB = 45°, ∠XBC = 15°, ∠CXB = 120° и XM – биссектриса угла CXB (см. рис.).
Поскольку XM – биссектриса равнобедренного треугольника CXY, то она также является медианой и высотой, следовательно, CMY – также равнобедренный, откуда ∠MYC = ∠MCY = α. С другой стороны, ∠MBC = α, то есть четырёхугольник CMYB – вписанный. Тогда ∠MBY = ∠MCY = α, откуда 2α = 15°, α = 7,5° и ∠CMB = 150°.
Докажем, что точка X лежит на отрезке AM. Пусть это не так (см. рис.).
Снова рассмотрим треугольник AXB отдельно и проведем отрезок CY так, что ∠YCB = 15°. По условию, ∠MCB = 15° + ∠MBC. Так как
∠XCB = 30° + ∠XBC, то чтобы выполнялось условие, угол MBX должен быть на 15° больше угла MCX. Треугольник CMY – равнобедренный, следовательно, ∠MCX = ∠MYX > ∠MBY, то есть такое расположение точек невозможно.
Ответ
150°.
