Выбрано 15 задач 
Убрать все задачи
Дана окружность с центром O. На продолжении хорды AB за точку B отложен отрезок BC, равный радиусу. Через точки C и O проведена секущая CD (D – точка пересечения с окружностью, лежащая вне отрезка CO). Докажите, что ∠AOD = 3∠ACD.
Объём пирамиды ABCD равен 5. Через середины рёбер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M . При этом DM:MC = 2:3. Найдите площадь сечения пирамиды указанной плоскостью, если расстояние от неё до вершины A равно 1.
Правильный восьмиугольник со стороной 1 разрезан
на параллелограммы. Докажите, что среди них есть по
крайней мере два прямоугольника, причем сумма площадей
всех прямоугольников равна 2.
На сторонах BC, CA и AB треугольника взяты точки A1, B1, C1 соответственно, причём радиусы окружностей, вписанных в треугольники A1BC1, AB1C1 и A1B1C, равны между собой и равны r. Радиус окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, равен r1. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Дана бесконечная последовательность чисел a1, ..., an, ... Она периодична с периодом 100, то есть a1 = a101, a2 = a102, ... Известно, что a1 ≥ 0, a1 + a2 ≤ 0, a1 + a2 + a3 ≥ 0 и вообще, сумма a1 + a2 + ... + an неотрицательна при нечётном n и неположительна при чётном n. Доказать, что |a99| ≥ |a100|.
На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через a, а до центров всех белых клеток – через b. Докажите, что a = b.
В трапеции ABCD основание AD = 2, основание BC = 1. Боковые стороны AB = CD = 1. Найдите диагонали трапеции.
Три мухи равной массы ползают по сторонам
треугольника так, что их центр масс остается на месте.
Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан
треугольника ABC, если известно, что одна муха проползла
по всей границе треугольника.
Исходное сообщение, состоящее из букв русского алфавита
и знака пробела (-) между словами, преобразуется в
цифровое сообщение заменой каждого его символа парой цифр
согласно следующей таблице:
Для зашифрования полученного цифрового сообщения используется
отрезок некоторой последовательности с периодом
1 4 7 6 5 6 3 6 9 0 1 6 3 6 5 6 7 4 9 0 (при этом неизвестно,
с какого места начинается последовательность).
При зашифровании каждая цифра сообщения складывается
с соответствующей цифрой отрезка и
заменяется последней цифрой полученной суммы.
Восстановите сообщение:
2339867216458160670617315588
(Задача с сайта www.cryptography.ru.)
В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол
A = 90o,
а угол
C
90o. Из вершин B и D на
диагональ AC опущены перпендикуляры BE и DF. Известно, что
AE = CF. Докажите, что угол C — прямой.
Петя и Вася играют на отрезке $[0; 1]$, в котором отмечены точки $0$ и $1$. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложить треугольник, то сделавший такой ход игрок объявляется победителем, и игра заканчивается. Получится ли у Пети гарантированно победить?
Описанная окружность треугольника ABC пересекает стороны AD и CD параллелограмма ABCD в точках K и L. Пусть M – середина дуги KL, не содержащей точку B. Докажите, что DM ⊥ AC.
Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ и $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ – две четверки точек, не лежащих на одной окружности. Известно, что для любых $i$, $j$, $k$ радиусы описанных окружностей треугольников $A_iA_jA_k$ и $B_iB_jB_k$ равны. Обязательно ли $A_iA_j=B_iB_j$ для любых $i$, $j$?
Две окружности касаются внутренним образом в точке M. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Докажите, что MT — биссектриса угла AMB.
Можно ли внутри выпуклого пятиугольника отметить 18 точек так, чтобы внутри каждого из десяти треугольников, образованных его вершинами, отмеченных точек было поровну?
|
|
 |
Условие
Можно ли внутри выпуклого пятиугольника отметить 18 точек так, чтобы внутри каждого из десяти треугольников, образованных его вершинами, отмеченных точек было поровну?
Решение
Проведем все диагонали пятиугольника (см. рисунок). Десять треугольников, указанных в условии, можно разделить на две группы по пять: 1) треугольники, образованные двумя соседними сторонами и диагональю пятиугольника; 2) треугольники, образованные стороной и двумя диагоналями пятиугольника.
Рассмотрим пятиугольник, образованный точками пересечения диагоналей исходного пятиугольника и пять малых треугольников, прилежащих к сторонам исходного. В каждой из этих областей отметим по три точки. Любой из десяти треугольников, указанных выше, содержит ровно две выделенные области, значит, внутри каждого из них находится ровно шесть отмеченных точек.
Ответ
Можно.
