Выбрана 21 задача 
Убрать все задачи
Точки A1, B1 и C1 симметричны центру описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон.
Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.
Доказать, что в выпуклый равносторонний (но не обязательно правильный) пятиугольник можно поместить правильный треугольник так, что одна из его сторон будет совпадать со стороной пятиугольника, а весь треугольник будет лежать внутри этого пятиугольника.
Точка O, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника площади S, отражается симметрично относительно середин его сторон.
Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных точках.
а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.
б) Даны натуральные числа k и n, причём 1 < k < n. Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m ладей на доске размером n×n клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
Лист клетчатой бумаги размером N×N раскрасили в N цветов. (Каждую клеточку закрасили одним из этих N цветов или не закрасили вообще). "Правильной" раскраской называется такая, что в каждом столбце и в каждой строке нет двух клеточек одинакового цвета. Можно ли докрасить лист "правильным" способом, если сначала было "правильно" закрашено
а) N2 - 1 клетка?
б) N2 - 2 клетки?
в) N клеток?
На плоскости дано n попарно непараллельных
прямых. Докажите, что угол между некоторыми двумя из
них не больше
180o/n.
Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c таков, что уравнение f(x) = x не имеет вещественных корней.
Докажите, что уравнение f(f(x)) = x также не имеет вещественных корней.
24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".
Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел x1, x2, x3, ..., x9, x10 равна 1. Какой а) наибольшей; б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел x1, ½ (x1 + x2), ⅓ (x1 + x2 + x3), ..., 1/10 (x1 + x2 + ... + x10)?
в) Каков будет ответ, если чисел не 10, а n?
Докажите, что отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC треугольника ABC как на диаметрах, лежит на прямой BC.
Доказать, что никакую прямоугольную шахматную доску шириной в 4 клетки нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле по одному разу и последним ходом вернувшись на исходную клетку.
Глава Монетного двора хочет выпустить монеты 12 номиналов (каждый – в натуральное число рублей) так, чтобы любую сумму от 1 до 6543 рублей можно было заплатить без сдачи, используя не более 8 монет. Сможет ли он это сделать?
(При уплате суммы можно использовать несколько монет одного номинала.)
30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу.
Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взяли такую точку $D$, что угол $BDC$ равен углу $ABC$. Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, если $BC = 1$?
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что A1C·BC = B1C·AC.
Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
Сколькими способами натуральное число n можно представить в виде суммы
а) k натуральных слагаемых?
б) k неотрицательных целых слагаемых?
(Представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.)
На стороне BC треугольника ABC взята точка A1 так, что BA1 : A1C = 2 : 1. В каком отношении медиана CC1 делит отрезок AA1?
Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями получаются квадраты $100\times100$ и $1\times1$?
|
|
 |
Условие
Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями
получаются квадраты $100\times100$ и $1\times1$?
Решение
Первое решение.
Покажем, что если у тетраэдра два скрещивающихся ребра перпендикулярны и имеют длины $a$ и $b$, то существует сечение тетраэдра, которое является квадратом со стороной $ab/(a+b)$.
Разделим четыре остальных ребра тетраэдра в отношении $k : (1-k)$, считая от концов ребра длины $b$ (см. рис.). Соединив точки деления, получим сечение, которое является параллелограммом со сторонами длины $ka$ и $(1-k)b$ в силу подобия треугольников. На самом деле, это сечение является прямоугольником, поскольку стороны параллелограмма параллельны перпендикулярным рёбрам тетраэдра по обратной теореме Фалеса и, следовательно, тоже перпендикулярны. Осталось подобрать $k$ таким образом, чтобы стороны прямоугольника были равны, т.е. $ka = (1-k)b$, откуда $k = b/(a+b)$. При этом сторона получившегося квадрата будет равна $ka = ab/(a+b)$.
Рассмотрим теперь три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $O$. Отложим на этих прямых от точки $O$ отрезки $OA=1$, $OB=1$, $OC=x$, где $x$ — некоторый параметр (см. рис.). В тетраэдре $OABC$ есть три пары скрещивающихся перпендикулярных рёбер: ребро $OC$ перпендикулярно плоскости $OAB$, следовательно, перпендикулярно ребру $AB$, лежащему в этой плоскости; аналогично рёбра $OA$ и $OB$ перпендикулярны рёбрам $BC$ и $AC$ соответственно. Покажем, что можно подобрать параметр $x>0$ так, что сторона одного из построенных квадратных сечений будет в 100 раз больше стороны другого. Рассмотрим пару перпендикулярных скрещивающихся рёбер $CO$ и $AB$ длин $x$ и $\sqrt{2}$. По доказанному утверждению длина стороны соответствующего квадратного сечения равна $c_1(x) = x\sqrt{2}/(x+\sqrt{2})$. Теперь возьмём пару перпендикулярных скрещивающихся рёбер $OA$ и $CB$ длины 1 и $\sqrt{x^2+1}$. Сторона соответствующего квадратного сечения будет равна $c_2(x) =\frac{\sqrt{x^2+1}}{1+\sqrt{x^2+1}}$.
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{c_2(x)}{c_1(x)}$. Она непрерывна при $x>0$ и $f(1) = 1$. Далее, $c_2(x)>\frac{1}{2}$, поэтому $f(x) > \frac{x+\sqrt2}{2\sqrt2x} > \frac {1}{2x}$ (при $x>0$), т.е. $f(1/200)>100$. По теореме о промежуточном значении непрерывной функции на отрезке $[1/200;1]$ существует такое $x^*$, что $f(x^*)=100$. Для найденного $x^*$ возьмём получившийся тетраэдр $OABC$. Искомый тетраэдр подобен $OABC$ с коэффициентом подобия $1/c_1(x^*)$.
Второе решение.
Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, боковые грани которого являются квадратами с диагоналями, равными $200$, а верхняя и нижняя грани — ромбы. Рассмотрим тетраэдр $A_1BDC_1$ (см. рис.). Поскольку диагонали граней параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярны, а диагонали его противоположных граней попарно параллельны, пары скрещивающихся рёбер тетраэдра перпендикулярны. Согласно первому решению у такого тетраэдра есть три квадратных сечения, параллельных парам его скрещивающихся рёбер. Сторона квадратного сечения тетраэдра, параллельного рёбрам $A_1B$ и $C_1D$, будет равна $100$. Покажем, что можно выбрать ромб в верхнем и нижнем основаниях параллелепипеда таким образом, что квадратное сечение тетраэдра, параллельное рёбрам $A_1C_1$ и $BD$, будет иметь сторону длины 1. Спроектируем параллелепипед на верхнюю грань, при этом рёбра тетраэдра $A_1BDC_1$ спроектируются на стороны ромба $A_1B_1C_1D_1$, а квадрат сечения тетраэдра, параллельного прямым $BD$ и $A_1C_1$, спроектируется в равный ему квадрат, вершины которого будут лежать на сторонах ромба $A_1B_1C_1D_1$. Сторона вписанного в ромб квадрата не превосходит меньшей диагонали ромба, поэтому, устремляя длину меньшей диагонали ромба к 0, получим квадрат со стороной, сколь угодно близкой к нулю. В тоже время, если в качестве ромба взять квадрат, то сторона вписанного квадрата будет равна 100. В силу непрерывности изменения длины стороны вписанного квадрата найдётся такой ромб, что сторона вписанного в него квадрата равна 1, что и требовалось.
Ответ
Да, существует.
