Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 17 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что числа 1, 2, ..., n ни при каком  n > 1  нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.

Вниз   Решение

Докажите, что сумма всех чисел вида 1/mn, где m и n – натуральные числа,  1 < m < n < 1986,  не является целым числом.

ВверхВниз   Решение

Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плоскости Oxy рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса координатного угла — прямая y=x. Затем на графике функции отмечаются точки A0(x0,f(x0)), A1(x1,f(x1)),..., An(xn,f(xn)),... а на биссектрисе координатного угла — точки B0(x0,x0), B1(x1,x1),..., Bn(xn,xn),... Ломаная B0A0B1A1... BnAn... называется итерационной.
Постройте итерационные ломаные для следующих данных:
а) f (x) = 1 + $ {\dfrac{x}{2}}$,    x0 = 0, x0 = 8;
б) f (x) = $ {\dfrac{1}{x}}$,    x0 = 2;
в) f (x) = 2x - 1,    x0 = 0, x0 = 1, 125;
г) f (x) = - $ {\dfrac{3x}{2}}$ + 6,     x0 = $ {\dfrac{5}{2}}$;
д) f (x) = x2 + 3x - 3,    x0 = 1, x0 = 0, 99, x0 = 1, 01;
е) f (x) = $ \sqrt{1+x}$,    x0 = 0, x0 = 8;
ж) f (x) = $ {\dfrac{x^3}{3}}$ - $ {\dfrac{5x^2}{2}}$ + $ {\dfrac{25x}{6}}$ + 3,     x0 = 3.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что из любых 27 различных натуральных чисел, меньших 100, можно выбрать два числа, не являющихся взаимно простыми.

ВверхВниз   Решение

Зафиксируем числа a0 и a1. Построим последовательность {an} в которой

an + 1 = $\displaystyle {\frac{a_n+a_{n-1}}{2}}$        (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Выразите an через a0, a1 и n.

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если  Pn/Qn  (n ≥ 1)  – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств     или     Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей p/q, что  |α – p/q| < 1/2q2.

ВверхВниз   Решение

В стране несколько городов (больше одного); некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой, проезжая по нескольким дорогам. Кроме того, дороги не образуют циклов, то есть если выйти из некоторого города по какой-то дороге и далее двигаться так, чтобы не проходить по одной дороге дважды, то невозможно возвратиться в начальный город. Докажите, что в этой стране найдутся хотя бы два города, каждый из которых соединен дорогой ровно с одним городом.

ВверхВниз   Решение

Здесь изображен фрагмент таблицы, которая называется треугольником Лейбница. Его свойства "аналогичны в смысле противоположности" свойствам треугольника Паскаля. Числа на границе треугольника обратны последовательным натуральным числам. Каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним. Найдите формулу, которая связывает числа из треугольников Паскаля и Лейбница.

ВверхВниз   Решение

Автор: Васильев Н.Б.

Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат на сторонах AB и BC соответственно, причём  BP = BQ.  Пусть H – основание перпендикуляра, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что угол DHQ – прямой.

ВверхВниз   Решение

Можно ли шашечную доску размером 10×10 замостить плитками размером 1×4?

ВверхВниз   Решение

Автор: Агаханов Н.Х.

Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
   рационально. Докажите, что для любого a из M число    рационально.

ВверхВниз   Решение

В параллелограмме ABCD, не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла BAD. K и L – точки её пересечения с прямыми BC и CD соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки C, K и L, лежит на окружности, проведённой через точки B, C и D.

ВверхВниз   Решение

Имеется таблица 1999×2001. Известно, что произведение чисел в каждой строке отрицательно.
Докажите, что найдётся столбец, произведение чисел в котором тоже отрицательно.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

ВверхВниз   Решение

а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, Ob — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и Ob лежат на окружности с центром M.
б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO, BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO, ACO и ABO. Докажите, что O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение

Пирамида, все боковые рёбра которой наклонены к плоскости основания под углом $ \varphi$, имеет в основании равнобедренный треугольник с углом $ \alpha$, заключённым между равными сторонами. Определить двугранный угол при ребре, соединяющем вершину пирамиды с вершиной угла $ \alpha$.

Вверх   Решение

Задача 76416
Тема:    [ Пирамида (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Пирамида, все боковые рёбра которой наклонены к плоскости основания под углом $ \varphi$, имеет в основании равнобедренный треугольник с углом $ \alpha$, заключённым между равными сторонами. Определить двугранный угол при ребре, соединяющем вершину пирамиды с вершиной угла $ \alpha$.

Решение

Пусть ABC — основание данной пирамиды ($ \angle$BAC = $ \alpha$), S — вершина пирамиды. Боковые рёбра наклонены под равными углами, поэтому они равны. Из равенства треугольников ASB и ASC следует, что основания перпендикуляров, опущенных из точек B и C на прямую AS, совпадают. Пусть D — основание этих двух перпендикуляров, E — середина отрезка BC. Тогда угол $ \theta$ = $ \angle$CDB искомый. Ясно, что DE = AE sin$ \varphi$ и EC = AEtg$ {\frac{\alpha}{2}}$. Поэтому tg$ {\frac{\theta}{2}}$ = $ {\frac{EC}{DE}}$ = $ {\frac{{\rm tg}\frac{\alpha}{2}}{\sin\varphi }}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 1
Год 1935
вариант
Вариант 1
Тур 1
задача
Номер 3
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .