Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением  ^a/_{cos α} = ^b/_{cos β},  то треугольник – равнобедренный.

   Решение

---

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

   Решение

---

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

   Решение

---

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  X + Y = 10²⁰⁰.  Доказать, что X делится на 50.

   Решение

---

а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности взять сумму?

   Решение

---

Исследуйте последовательности на сходимость:
а) x_{n + 1} = ,    x₀ = 1;
б) x_{n + 1} = sin x_n,     x₀ = a (0;);
в) x_{n + 1} = ,    a > 0, x₀ = 0.

   Решение

---

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

   Решение

---

Докажите, что если в выражении  (x² – x + 1)²⁰¹⁴  раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.

   Решение

---

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

   Решение

---

Докажите равенство:  
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

   Решение

---

Из точки A проведены два луча, пересекающие данную окружность: один — в точках B и C, другой — в точках D и E. Известно, что AB = 7, BC = 7, AD = 10. Найдите DE.

   Решение

---

На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.

   Решение

---

Игральную кость бросают шесть раз. Найдите математическое ожидание числа различных выпавших граней.

   Решение

---

Дан правильный треугольник ABC . Через вершину B проводится произвольная прямая l , а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l , пересекающие её в точках D и E . Затем, если точки D и E различны, строятся правильные треугольники DEP и DET , лежащие по разные стороны от прямой l . Найдите геометрическое место точек P и T .

   Решение

---

Внутри остроугольного треугольника ABC постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку K, что  ∠KBA = 2∠KAB  и  ∠KBC = 2∠KCB.

   Решение

---

На каждой стороне параллелограмма выбрано по точке (выбранные точки отличны от вершин параллелограмма). Точки, лежащие на соседних (имеющих общую вершину) сторонах, соединены отрезками. Докажите, что центры описанных окружностей четырёх получившихся треугольников – вершины параллелограмма.

   Решение

---

При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)² + 3x + y = 2a?

   Решение

---

Докажите, что числа вида 2ⁿ при различных целых положительных n могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что числа вида 2ⁿ при различных целых положительных n могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

Решение

Пусть A — данное натуральное число. Покажем, что натуральное число n можно выбрать так, что 10^mA < 2ⁿ < 10^m(A + 1), т.е. m + lg A < n lg 2 < m + lg(A + 1). Эквивалентное условие таково: существуют натуральные числа m и n, для которых lg A < n lg 2 - m < lg(A + 1). Число lg 2 иррационально. (Действительно, предположим, что lg 2 = p/q, где p и q — натуральные числа. Тогда 10^p/q = 2, т.е. 10^p = 2^q. Этого не может быть.) Поэтому остаётся доказать следующее утверждение: `` Пусть — иррациональное число. Тогда для любых чисел a < b можно выбрать целые числа m и n, для которых a < m - n < b.'' Пусть = b - a. Для каждого целого числа m можно выбрать целое число n так, что 0m - n1. Разделим отрезок [0, 1] на равные отрезки, длина каждого из которых меньше . Пусть количество этих отрезков равно k. Тогда среди чисел - n₁, 2 - n₂, ..., (k + 1) - n_{k + 1} есть два числа, принадлежащих одному и тому же отрезку. Вычтем из большего числа меньшее: p - n_p - (q - n_q) = t. Ясно, что 0t < . Более того, t 0, поскольку иначе = — рациональное число. Рассмотрим числа вида Nt, где N — целое число. Каждое из этих чисел имеет вид m - n. А из того, что 0 < t < , следует, что хотя бы одно из этих чисел расположено строго между a и b.

Источники и прецеденты использования