Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Используя результат задачи 61403, докажите неравенства:
а) ≤
неравенство Коши);
б)
в) где b1 + ... + bn = 1.
Значения переменных считаются положительными.
В окружности, радиус которой 1,4, определите расстояние от центра до хорды, если она отсекает дугу в 120°.
Докажите, что
r/R 2 sin(
/2)(1 - sin(
/2)).
Постройте треугольник по высоте, основанию и медиане, проведённой к этому основанию.
Прямая, проходящая через общую точку A двух окружностей, пересекает вторично эти окружности в точках B и C соответственно. Расстояние между проекциями центров окружностей на эту прямую равно 12. Найдите BC, если известно, что точка A лежит на отрезке BC.
Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны,
ее заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.
Многочлен P(x) с целыми коэффициентами при некоторых целых x принимает значения 1, 2 и 3.
Доказать, что существует не более одного целого x, при котором значение этого многочлена равно 5.
По стороне правильного треугольника катится окружность
радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая
величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника,
всегда равна
60o.
Докажите, что если a, b, c — длины сторон
треугольника периметра 2, то
a2 + b2 + c2 < 2(1 - abc).
Отличник Поликарп заполнил клетки таблицы цифрами так, что сумма цифр, стоящих в каждых трёх соседних клетках, равнялась 15, а двоечник Колька стёр почти все цифры. Сможете ли вы восстановить таблицу?
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC
пересекаются в точке M; P — произвольная точка. Прямая la
проходит через точку A параллельно прямой PA1; прямые lb
и lc определяются аналогично. Докажите, что:
а) прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке Q;
б) точка M лежит на отрезке PQ, причем PM : MQ = 1 : 2.
Даны двадцать карточек. Каждая из цифр от нуля до девяти включительно написана на двух из этих карточек (на каждой карточке – только одна цифра). Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы нули стояли рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, между двойками – две, и так далее до девяток, между которыми должно быть девять карточек?
|
|
 |
Условие
Даны двадцать карточек. Каждая из цифр от нуля до девяти включительно написана на двух из этих карточек (на каждой карточке – только одна цифра). Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы нули стояли рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, между двойками – две, и так далее до девяток, между которыми должно быть девять карточек?
Решение
Предположим, что карточки расположены требуемым образом. Назовём отрезком набор карточек, расположенных между двумя одинаковыми карточками, а длиной такого отрезка – количество других карточек, расположенных между ними. Подсчитаем сумму длин всех отрезков двумя способами. С одной стороны, она равна 0 + 1 + 2 + ... 9 = 45, то есть нечётна. С другой стороны, если на отрезке между карточками с цифрами a встречается ровно одна карточка с цифрой b, то на отрезке между карточками с цифрой b встречается ровно одна карточка с цифрой a. Поэтому каждая пара цифр (a, b) даёт чётный вклад в сумму длин всех отрезков (0 или 2). Следовательно, сумма длин всех отрезков чётна. Противоречие.
Ответ
Нельзя.
