Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q (P – на прямой BM, Q – на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.

   Решение

Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.

   Решение

Найдите геометрическом место ортоцентров (точек пересечения высот) всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность.

   Решение

Вася называет прямоугольник, стороны которого отличаются на 1, почти-квадратом. (Например, прямоугольник со сторонами 5 и 6 – это почти-квадрат.) Существует ли почти-квадрат, который можно разрезать на 2010 почти-квадратов?

   Решение

При каком наибольшем n можно раскрасить числа 1, 2, ..., 14 в красный и синий цвета так, чтобы для каждого числа  k = 1, 2, ..., n  нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна k, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна k?

   Решение

Существует ли прямоугольный треугольник, у которого длины двух сторон – целые числа, а длина третьей стороны равна   ?

   Решение

В остроугольном треугольнике соединены основания высот. Оказалось, что в полученном треугольнике две стороны параллельны сторонам исходного треугольника. Докажите, что третья сторона также параллельна одной из сторон исходного треугольника.

   Решение

В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой стороны лежит наименьший угол треугольника.

   Решение

В выпуклом шестиугольнике AC₁BA₁CB₁   AB₁ = AC₁,  BC₁ = BA₁,  CA₁ = CB₁  и  ∠A + ∠B + ∠C = ∠A₁ + ∠B₁ + ∠C₁.
Докажите, что площадь треугольника ABC равна половине площади шестиугольника.

   Решение

а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

   Решение

Дана трапеция ABCD, M – точка пересечения её диагоналей. Известно, что боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC и что в трапецию можно вписать окружность. Найдите площадь треугольника DCM, если радиус этой окружности равен r.

   Решение

Три прямолинейных коридора одинаковой длины l образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем r. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если:   а)  r > ^l/₃;   б)   r > ^l/₄;   в)   r > ^l/₅;   г)   r > ^l/₇.

   Решение

Темы:    [ Теория игр (прочее) ] [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Три прямолинейных коридора одинаковой длины l образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем r. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если:   а)  r > ^l/₃;   б)   r > ^l/₄;   в)   r > ^l/₅;   г)   r > ^l/₇.

Решение

  Договоримся, что полицейский всегда движется с максимальной скоростью. Сначала он "прочёсывает" коридор OC. Убедившись, что гангстера там нет, полицейский удаляется в коридор OA на расстояние 2r и затем возвращается в точку O. Пусть отсюда он не увидел гангстер. Заметим, что тогда он не может находиться в коридоре OC: если бы он за время отсутствия полицейского в точке O попытался перебежать из коридора OB в коридор OC, то к моменту возвращения полицейского в точку O расстояние от гангстера до O было бы не больше, чем r.

  а) Если  l ≤ 3r,  то гангстер не может находиться и в коридоре OA, и полицейский ловит его, "прочесав" коридор OB.

  б) Пусть  3r < l ≤ 4r.  Тогда гангстер может находиться в коридоре OA, но на расстоянии от O , большем 2r.
  Теперь полицейский отправляется в коридор OB на расстояние 3r. Вернувшись в точку O и не увидев гангстера, полицейский знает, что в коридоре OB гангстера нет. Но и в коридоре OC гангстера нет (если гангстер находился в коридоре OA, то на расстоянии от O, большем 2r, и потому до возвращения полицейского в точку O, гангстер не сможет перебежать в коридор OC так, чтобы при этом оказаться от O на расстоянии, большем r). Осталось "прочесать" коридор OA.

  в) Пусть  4r < l < 5r.  Тогда гангстер может находиться в коридоре OB, но на расстоянии от O, большем  (3r + r) – ^3r/₂ = ^5r/₂.
  Дальнейшие действия полицейского заключаются в том, чтобы углубляться то в коридор OB, то в коридор OA на все большие расстояния, но так, чтобы гангстер не смог перебежать в коридор OC. Каждое такое "углубление" вместе с последующим возвратом в точку O будем называть циклом. Два первых цикла уже описаны.
  Пусть после n-го цикла полицейский знает, что в коридоре OC гангстера нет, а в коридоре OX (где  X = A  при нечётном n и  X = B  при чётном n) гангстер может находиться только на расстоянии от O, большем y_n. Тогда в следующем цикле полицейский отправляется в другой коридор на расстояние  y_n + r.  Вернувшись в точку O, полицейский знает, что в коридоре OC гангстера нет, а в только что исследованном коридоре гангстер может находиться только на расстоянии от O, большем  y_n+1 = (½ (y_n + r) + r) = ½ (y_n + 3r).  Если же  y_n + r ≥ l – r,  то в исследованном коридоре гангстера вообще нет.
  Так как  3r – y_n+1 = ½ (3r – y_n),  то  3r – y_n = 2^1–n(3r – y₁) = 2^1–nr,  то есть  y_n = 3r – 2^1–nr.  Гангстер ловится, если  y_n + r ≤ l – r  при каком-нибудь n, то есть если  2^1–nr ≤ 5r – l.  Поскольку  l < 5r,  то после достаточно большого числа циклов гангстер ловится.

  г) Пусть  5r ≤ l < 7r.  Положим  ε = ½ (7r – l).  Полицейский действует так, как описано в п. в), пока при каком-то не окажется, что  y_n ≥ 3r – ε  (из формулы для y_n следует, что когда-то это произойдёт). После этого полицейский углубляется в очередной коридор (скажем, OA) на расстояние  l – r.
  Вернувшись в точку O и не увидев гангстера, полицейский знает, что в коридоре OA гангстера нет, а в коридоре OC гангстер не может находиться от O на расстоянии, большем   (l – r) – (3r – ε) = 3r – ε.  Затем полицейский углубляется в коридор OC на расстояние  4r – 2ε.  Вернувшись в точку O и не увидев гангстера, полицейский знает, что в коридоре OC гангстера нет (в противном случае гангстер был бы пойман, оказавшись в коридоре OC от полицейского на расстоянии, меньшем  (3r – ε) + ½ (4r – 2ε) – (4r – 2ε) = r),  а в коридоре OA гангстер не может находиться на расстоянии от O, большем
(4r – 2ε) – r = 3r – 2ε.  Затем полицейский идёт в коридор OA на расстояние  4r – 4ε,  затем в коридор OC на расстояние  4r – 8ε,  снова в коридор OA на расстояние  4r – 16ε  и т. д. Когда окажется, что надо идти на отрицательное расстояние, полицейский понимает, что гангстер находится в коридоре OB.

Источники и прецеденты использования