Версия для печати
Убрать все задачи

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Может ли площадь треугольника, образованного точками пересечения этих отрезков, быть больше 0, 499S_ABC?

   Решение

---

а) Можно ли разложить 20 монет достоинством в 1, 2, 3, ..., 19, 20 мунгу по трём карманам так, чтобы в каждом кармане оказалась одинаковая сумма денег?

б) А если добавить еще один тугрик? (Как известно, один тугрик равен ста мунгу.)

   Решение

---

Даны отрезки a и b. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок .

   Решение

---

Биссектриса и высота, проведённые из одной вершины некоторого треугольника, делят его противоположную сторону на три отрезка.
Может ли оказаться, что из этих отрезков можно сложить треугольник?

   Решение

---

Найдите конечную арифметическую прогрессию с разностью 6 максимальной длины, состоящую из простых чисел.

   Решение

---

Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?

   Решение

---

Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку A, пересекается с другой их общей касательной в точке B. Найдите радиус второй окружности, если AB = 4.

   Решение

---

В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями – елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного – одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного – тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берёз посажено вокруг дома?

   Решение

---

Окружность S с центром O на основании BC равнобедренного треугольника ABC касается равных сторон AB и AC. На сторонах AB и AC взяты точки P и Q так, что отрезок PQ касается окружности S. Докажите, что тогда  4PB ^. CQ = BC².

   Решение

---

К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Докажите, что радиус окружности есть среднее геометрическое отрезков третьей касательной.

   Решение

---

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30^o . Найдите радиусы сфер.

   Решение

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30^o . Найдите радиусы сфер.

Решение

Пусть ABC – прямоугольный треугольник, в котором C = 90^o , A = 30^o , BC = 1 . Тогда AB = 2 , AC = . Обозначим через x , y и z радиусы сфер с центрами O1 , O2 и O3 , касающихся плоскости треугольника ABC в точках A , B и C соответственно и попарно касающихся между собой внешним образом (рис.1). Прямые O2B и O3C перпендикулярны плоскости треугольника ABC , поэтому O2B || O3C . Проведём через эти прямые плоскость (рис.2). Получим касающиеся окружности радиусов y и z с центрами O2 , O3 и прямую, касающуюся этих окружностей в точках B и C . Поскольку BC = 1 , имеем уравнение 2 = 1 . Аналогично 2 = 2 и 2 = . После очевидных преобразований получим систему уравнений

Перемножив почленно два первых уравнения и разделив результат на третье, найдём, что x = . Аналогично находим y и z .

Ответ

, , .

Источники и прецеденты использования