Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.
У многочленов Р(х) и Q(х) – один и тот же набор целых коэффициентов (их порядок – различен).
Докажите, что разность Р(2015) – Q(2015) кратна 1007.
Две равные окружности касаются друг друга. Постройте такую трапецию, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.
Отрезок AD – диаметр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Через точку H пересечения высот этого треугольника провели прямую, параллельную стороне BC, которая пересекает стороны AB и AC в точках E и F соответственно.
Докажите, что периметр треугольника DEF в два раза больше стороны BC.
Стозначное натуральное число n назовём необычным, если десятичная запись числа n³ заканчивается на n, а десятичная запись числа n² не заканчивается на n. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.
Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)
Числовая последовательность {xn} такова, что для каждого n > 1 выполняется условие: xn+1 = |xn| – xn–1.
Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.
|
|
 |
Условие
Числовая последовательность {xn} такова, что для каждого n > 1 выполняется условие: xn+1 = |xn| – xn–1.
Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.
Решение
Рассмотрим на координатной плоскости преобразование f, переводящее точку (x, y) в точку f(x, y) = (|x| – y, x). Тогда f(xn, xn–1) = (xn+1, xn). Поэтому достаточно доказать, что девятикратное применение преобразования f возвращает все точки на место.
Заметим, что это преобразование однородно: f(tx, ty) = tf(x, y), то есть луч переходит в луч (все рассматриваемые лучи выходят из начала координат). Последовательные образы луча l1, натянутого на вектор (1, 0), – лучи l2, …, l9, натянутые на векторы (1, 1), (0, 1), (–1, 0), (1, –1), (2, 1), (1, 2), (–1, 1),
(0, –1); образом луча l9 снова является l1. Эти лучи расположены в порядке l1, l6, l2, l7, l3, l8, l4, l9, l5 и разбивают плоскость на девять углов (см. рис.).
(2a + b, a + b), (a, 2a + b), (– a – b, a), (b, – a – b), (a + 2b, b), (a + b, a + 2b), (– b, a + b) – по одной соответственно в 7-м, 9-м, 2-м, 4-м, 6-м, 8-м, 1-м, 3-м и 5-м углах. Итак, эти орбиты заполняют всю плоскость. Начав из другого угла, мы пройдём по той же орбите, только со сдвигом на несколько шагов.
Замечания
5 баллов
