Докажите, что натуральные числа n и n²⁰¹⁷ оканчиваются на одну и ту же цифру.

   Решение

На сторонах AC и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что  MN || AB.  На стороне AC отмечена точка K так, что  CK = AM.  Отрезки AN и BK пересекаются в точке F. Докажите, что площади треугольника ABF и четырёхугольника KFNC равны.

   Решение

Для игры в "Морской бой" на поле 8×8 клеток расставили 12 "двухпалубных" кораблей. Обязательно ли останется место для "трёхпалубного" корабля?  ("Двухпалубный" корабль – прямоугольник 1×2, а "трёхпалубный" – 1×3. Корабли могут соприкасаться, но накладываться друг на друга не должны.)

   Решение

Есть 100 коробок, пронумерованных числами от 1 до 100. В одной коробке лежит приз и ведущий знает, где он находится. Зритель может послать ведущему пачку записок с вопросами, требующими ответа "да" или "нет". Ведущий перемешивает записки в пачке и, не оглашая вслух вопросов, честно отвечает на все. Какое наименьшее количество записок нужно послать, чтобы наверняка узнать, где находится приз?

   Решение

В окружности с центром O проведена хорда AB и радиус OK, пересекающий её под прямым углом в точке M. На большей дуге AB окружности выбрана точка P, отличная от середины этой дуги. Прямая PM вторично пересекает окружность в точке Q, а прямая PK пересекает AB в точке R. Докажите, что  KR > MQ.

   Решение

На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA как на диаметрах построены полуокружности S₁, S₂, S₃ по одну сторону от AC.
Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей, если известно, что её центр удален от прямой AC на расстояние a.

   Решение

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число  a + b – 1.
Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

   Решение

Мудрецу С. сообщили сумму трёх натуральных чисел, а мудрецу П. – их произведение.
– Если бы я знал, – сказал С., – что твоё число больше, чем моё, я бы сразу назвал три искомых числа.
– Мое число меньше, чем твоё, – ответил П., – а искомые числа ..., ... и ... .
Какие числа назвал П.?

   Решение

В треугольнике PQR угол QRP равен 60^o. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR.

   Решение

В треугольнике ABC расположены три окружности равных радиусов так, что каждая из окружностей касается двух сторон треугольника. Одна из окружностей (с центром O₁) касается двух других (с центрами O₂ и O₃ соответственно) и O₂O₁O₃ = 90^o. Установите, что больше: площадь круга, ограниченного окружностью с центром O₁, или пятая часть площади треугольника ABC?

   Решение

На равных сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что  AC = CM  и  MN = NB.  Высота треугольника, проведенная из вершины B, пересекает отрезок CM в точке H. Докажите, что NH – биссектриса угла MNC.

   Решение

Число A делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2A представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10,  2A = a₁ + a₂ + ... + a_k,  то из чисел a₁, a₂, ..., a_k можно выбрать часть, сумма которых равна A.

   Решение

В классе 30 учеников. Докажите, что вероятность того, что у каких-нибудь двух учеников совпадают дни рождения, составляет больше 50%.

   Решение

На прямой отмечено четыре точки и ещё одна точка отмечена вне прямой. Всего существует шесть треугольников с вершинами в этих точках.
Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными?

   Решение

а) Треугольник ABC правильный. Найдите геометрическое место таких точек X, что AX² = BX² + CX².
б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник относительно треугольника ABC прямоугольный.

   Решение

Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно четырёхугольника ABCD. Известно, что  BC || AD  и  AN = CM.
Верно ли, что ABCD – параллелограмм?

   Решение

Даны положительные числа h, s₁, s₂ и расположенный в пространстве треугольник ABC. Сколькими способами можно выбрать точку D так, чтобы в тетраэдре ABCD высота, опущенная из вершины D, была равна h, а площади граней ACD и BCD соответственно s₁ и s₂ (исследовать все возможные случаи)?

   Решение

На окружности даны четыре точки A, B, C, D. Через каждую пару соседних точек проведена окружность. Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим через A₁, B₁, C₁, D₁. (Некоторые из них могут совпадать с прежними.) Доказать, что A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности.

   Решение

Пусть P — точка Брокара треугольника ABC; R₁, R₂ и R₃ — радиусы описанных окружностей треугольников ABP, BCP и CAP. Докажите, что  R₁R₂R₃ = R³, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере ⅔ задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере ⅔ школьников. Известно также, что по крайней мере ⅔ школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере ⅔ задач контрольной. Могло ли такое быть?

Изменится ли ответ, если везде в условии заменить ⅔ на   б) ¾;   в) ⁷/₁₀?

   Решение

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере ⅔ задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере ⅔ школьников. Известно также, что по крайней мере ⅔ школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере ⅔ задач контрольной. Могло ли такое быть?

Изменится ли ответ, если везде в условии заменить ⅔ на   б) ¾;   в) ⁷/₁₀?

Решение

  а) Пример. Пусть на контрольной было три задачи, треть школьников решила первую и третью, треть – вторую и третью, остальные – ничего.

  б) Нарисуем на единичном квадрате таблицу, где строки соответствуют ученикам, а столбцы – задачам; при этом школьникам, написавших контрольную хорошо, отведём верхние строки, а трудным задачам – левые столбцы. Если школьник решил задачу, то клетку на пересечении соответствующих строки и столбца сделаем чёрной.
  Оценим площадь чёрной области двумя способами. Уже в строках хороших учеников закрашено не менее  ¾·¾ = ⁹/₁₆.  С другой стороны, в столбцах трудных задач закрашено не более  ¼·¾,  в остальных столбцах – всего не более ¼, итого не более ⁷/₁₆. Противоречие.

  в) Нарисуем и закрасим таблицу, как в б). Оценим двумя способами площадь S чёрной области, расположенной в левом верхнем углу – квадрате  0,7×0,7.  Каждая строка пересекает эту область по прямоугольникам одинаковой высоты с суммой длин не меньшей  0,7 – 0,3,  следовательно,  S ≥ 0,7·0,4 = 0,28.
  С другой стороны, каждый столбец пересекает эту область по прямоугольникам с суммой высот, не большей 0,3, следовательно,  S ≤ 0,3·0,7 = 0,21.  Противоречие.

Ответ

а) Могло.  б), в) Изменится.

Замечания

  1. Можно обойтись и без таблицы. В б) это совсем просто. Пусть было n школьников и z задач. Общее число решений трудных задач во всех работах, с одной стороны, не меньше  ³ⁿ/₄·^3z/₄ = ^9nz/₁₆,  а с другой – не больше ^7nz/₁₆.
  В пункте в) возникают небольшие технические осложнения.
  Пусть число трудных задач равно tz. Каждую трудную задачу решило не более 0,3n школьников, поэтому общее число сданных решений трудных задач не больше 0,3ntz. С другой стороны, хороших школьников не меньше 0,7n. Каждый сдал не менее 0,7z решений, из них не более  (1 – t)z  лёгких, значит, не менее  0,7z – (1 – t)z = (t – 0,3)z  трудных задач. В итоге сдано не менее  0,7(t – 0,3)nz  решений трудных задач. Из неравенства  0,3tnz ≥ 0,7(t – 0,3)nz  получаем  t ≤ 0,525,  что противоречит условию.

  2. Пусть в условии вместо ⅔ стоит число  p < 1.  Подсчитывая двумя способами площадь, как в решении в), получим неравенство  p(2p – 1) ≤ p(1 – p),  откуда  p ≤ ⅔.  Из а) видно, что эта оценка точна. А вот подсчет общей площади чёрных клеток (как в решении п. б)) даст всего лишь неравенство     – эта оценка не точна.

  3. Баллы: 1 + 2 + 2.

Источники и прецеденты использования