ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Косухин О.Н.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      



Задача 66097

Темы:   [ Перпендикулярные прямые ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Поворотная гомотетия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что  BD = CD,  ∠BDC = 120°.  Вне треугольника ABC взята такая точка E, что  AE = CE,  ∠AEC = 60°  и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что  ∠AFD = 90°,  где F – середина отрезка BE.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115512

Темы:   [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что если числа x, y, z при некоторых значениях p и q являются решениями системы
     y = xn + px + q,  z = yn + py + q,  x = zn + pz + q,
то выполнено неравенство  x²y + y²z + z²x ≥ x²z + y²x + z²y.
Рассмотрите случаи   а)  n = 2;   б)  n = 2010.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116251

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Экстремальные свойства (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116704

Темы:   [ Двоичная система счисления ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 11

Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные 2n слов, состоящих из n букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение n множителей, исправив каждую букву А на x, а каждую букву Б – на  (1 – x),  и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от x. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке  [0, 1]  функцию от x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116705

Темы:   [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Формула включения-исключения ]
[ Композиции симметрий ]
[ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 11

После обеда на прозрачной квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади S. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна S1. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна S. Какое наименьшее значение может принимать величина  S1 : S?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .