Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
44 турнир (2022/2023 год)
>>
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Фильтр
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
На плоскости дано n точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все n точек можно накрыть кругом радиуса 1.
Решение
По заданному ненулевому x значение x8 можно найти за три арифметических действия:x2 = x · x, x4 = x2 · x2, x8 = x4 · x4,
а x15 — за пять действий: первые три — те же самые, затем x8 · x8 = x16 и x16 : x = x16. Докажите, что
Решение
Решение
Решение
Диагонали AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что AM : AC = CN : CE =
. Найдите , если известно, что точки B, M и N
лежат на одной прямой.
Решение
Решение
Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, N — основание биссектрисы угла B. Касательная к описанной окружности треугольника AIN в вершине A и касательная к описанной окружности треугольника CIN в вершине C пересекаются в точке D. Докажите, что прямые AC и DI перпендикулярны. Решение
Убрать все задачи
На плоскости дано n точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все n точек можно накрыть кругом радиуса 1.
РешениеПо заданному ненулевому x значение x8 можно найти за три арифметических действия:
а) x16 можно найти за
б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log2n действий.
РешениеНайдите геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней точке.
РешениеНайдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности.
РешениеДиагонали AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что AM : AC = CN : CE =
РешениеКоля и его сестра Маша пошли в гости. Пройдя четверть пути, Коля вспомнил, что они забыли дома подарок и повернул обратно, а Маша пошла дальше. Маша пришла в гости через 20 минут после выхода из дома. На сколько минут позже пришёл в гости Коля, если известно, что они все время шли с одинаковыми скоростями?
РешениеПусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, N — основание биссектрисы угла B. Касательная к описанной окружности треугольника AIN в вершине A и касательная к описанной окружности треугольника CIN в вершине C пересекаются в точке D. Докажите, что прямые AC и DI перпендикулярны.
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее количество рублей гарантированно удастся поставить все кубики так, чтобы на верхних гранях у них было поровну точек? (Количества точек на гранях каждого игрального кубика равны числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, суммарное число точек на противоположных гранях всегда равно 7.)
Дано натуральное число $n$. Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму
$$
Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{10^{n}}\right\rfloor .
$$
Найдите разность $Q\left(10^{n}\right)-Q\left(10^{n}-1\right)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, N — основание биссектрисы угла B. Касательная к описанной окружности треугольника AIN в вершине A и касательная к описанной окружности треугольника CIN в вершине C пересекаются в точке D. Докажите, что прямые AC и DI перпендикулярны.
Бесконечные возрастающие арифметические прогрессии $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ и $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ состоят из положительных чисел. Известно, что отношение $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ целое при любом $k$. Верно ли, что это отношение не зависит от $k$?
Даны пять точек, расстояние между любыми двумя из них больше 2. Верно ли, что расстояние между какими-то двумя из них больше 3, если эти 5 точек расположены
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 67256 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67260 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67261 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67262 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67263 (#5) |
|
|
a) на плоскости;
б) в пространстве?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
