ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 44]      



Задача 111688

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В бесконечной последовательности  a1, a2, a3, ... число a1 равно 1, а каждое следующее число an строится из предыдущего an–1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то  an = an–1 + 1,  если же остаток равен 3, то  an = an–1 – 1.  Докажите, что в этой последовательности
  а) число 1 встречается бесконечно много раз;
  б) каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.
(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ...)
Прислать комментарий     Решение


Задача 111694

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Центральная симметрия (прочее) ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение  P(m) + P(n) = 0  имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика  y = P(x)  есть центр симметрии.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111695

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем
  а) после 29-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 30-й попытке);
  б) после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)?
(Изначально Витя не знает ни одного ответа, тест всегда один и тот же.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 111916

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Дано целое число  n > 1.  Двое игроков по очереди отмечают точки на окружности: первый – красным цветом, второй – синим (отмечать одну и ту же точку дважды нельзя). Когда отмечено по n точек каждого цвета, игра заканчивается. После этого каждый игрок находит на окружности дугу наибольшей длины с концами своего цвета, на которой больше нет отмеченных точек. Игрок, у которого найденная длина больше, выиграл (в случае равенства длин дуг, а также при отсутствии таких дуг у обоих игроков – ничья). Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 44]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .