ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 65725  (#1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до 1000000 включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65726  (#2)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Храбров А.

Существуют ли такие целые числа a и b, что
  а) уравнение  x2 + ax + b = 0  не имеет корней, а уравнение  [x2] + ax + b = 0 имеет?
  б) уравнение  x2 + 2ax + b = 0  не имеет корней, а уравнение  [x2] + 2ax + b = 0  имеет?
Прислать комментарий     Решение


Задача 65727  (#3)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырёхугольников, каждый из которых вписан в окружность диаметра  

Прислать комментарий     Решение

Задача 65728  (#4)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Художник-абстракционист взял деревянный куб 5×5×5, разбил каждую грань на единичные квадраты и окрасил каждый из них в один из трёх цветов – чёрный, белый или красный – так, что нет соседних по стороне квадратов одного цвета. Какое наименьшее число чёрных квадратов могло при этом получиться? (Квадраты, имеющие общую сторону, считаются соседними и в случае, если они лежат на одной грани куба, и в случае, если они лежат на разных гранях куба.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 65729  (#5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число, большее 10k. Взяли число, кратное p, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами k-значное число A. Получили число, кратное p. В него вставили k-значное число B – между двумя соседними цифрами числа A, – и результат снова оказался кратным p. Докажите, что число B получается из числа A перестановкой цифр.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .