ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 202]      



Задача 65876

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

а) Группа людей прошла опрос, состоящий из 20 вопросов, на каждый из которых возможно два ответа. После опроса оказалось, что для любых 10 вопросов и любой комбинации ответов на эти вопросы существует человек, давший именно эти ответы на эти вопросы. Обязательно ли найдутся два человека, у которых ответы ни на один вопрос не совпали?
б) Решите ту же задачу, если на каждый вопрос есть 12 вариантов ответа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97969

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Теория групп (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороной единица. Будем рассматривать ряды клеток, параллельные сторонам угла (вертикальные и горизонтальные ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109190

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В квадрате 3×3 расставлены числа (см. рис.). Известно, что квадрат магический: сумма чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой диагонали одна и та же. Докажите, что
  а)  2(a + c + g + i) = b + d + f + h + 4e.
  б)  2(a³ + c³ + g³ + i³) = b³ + d³ + f ³ + h³ + 4e³.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109611

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Поворот на 90° ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Можно ли в клетки таблицы 9×9 записать натуральные числа от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 3×3 была одна и та же?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109615

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы таких, что сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 202]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .