ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



Задача 98418

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

В таблицу записано девять чисел:

Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:
a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3.
Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов:   a1b1c1 + a2b2c2 + a3b3c3 = a1a2a3 + b1b2b3 + c1c2c3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97876

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98625

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Правило произведения ]
[ Инварианты ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

Прислать комментарий     Решение

Задача 107856

Темы:   [ Метод координат на плоскости ]
[ Системы линейных уравнений ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

На отрезке  [0, 1]  отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73695

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Метод спуска ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
[ Симметрия и инволютивные преобразования ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для каждой группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение – 0 очков, ничья – 1 очко, выигрыш – 2 очка.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .