Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]
Пусть E – точка пересечения боковых сторон AD и BC трапеции ABCD, Bn+1 – точка пересечения прямых AnC и BD (A0 = A), An+1 – точка пересечения прямых
EBn+1 и AB. Докажите, что AnB = AB/n+1.
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Отрезок длиной 3
n разбивается на три равные части. Первая и третья из них
называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части,
из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока
не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются
отмеченными точками. Доказать, что для любого целого
k(1
k3
n) можно
найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно
k.
Докажите, что в выпуклом
n-угольнике нельзя выбрать больше
n
диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Бесконечная плоская ломаная
A0A1...
An..., все углы которой прямые,
начинается в точке
A0 с координатами
x = 0,
y = 1 и обходит начало координат
O по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно
биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает
одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную
длину. Расстояние
OAn =
ln. Сумма длин первых
n звеньев ломаной равна
sn. Доказать, что найдётся
n, для которого
> 1958.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Куб с ребром
2
n+1
разрезают на
кубики с ребром 1 и бруски размера
2
x 2
x 1
. Какое
наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]