Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]

Задача 115658

Тема:

[

Биссектриса угла (ГМТ)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности. Точки M и N — середины сторон BC и AC соответственно. Известно, что угол AIN прямой. Докажите, что угол BIM — также прямой.

Решение

Центр окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения его биссектрис, поэтому луч AI — биссектриса угла BAC .
Обозначим IAN = IAB = α . Поскольку MN — средняя линия треугольника ABC ,

ANM = 180^o- NAB = 180^o-2α,
а т.к. AIN = 90^o , то
ANI = 90^o- IAN = 90^o-α= ANM,
т.е. луч NI — биссектриса угла ANM . Следовательно, точка I равноудалена от прямых AB , AC , BC и MN , значит, I — центр окружности, вписанной в четырёхугольник ANMB . Тогда MI — биссектриса угла BMN , а т.к. BI — биссектриса угла ABM , то BIM = 90^o (как угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей). Что и требовалось доказать.

Прислать комментарий

Задача 53936

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
Темы:	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]

Сложность: 2
Классы: 8,9

Окружность, построенная на биссектрисе AD треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC соответственно в точках M и N, отличных от A. Докажите, что AM = AN.

Подсказка

Прямоугольные треугольники AMD и AND равны.

Прислать комментарий

Задача 53937

Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]
Темы:	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]

Сложность: 2
Классы: 8,9

Найдите внутри треугольника ABC все такие точки P, чтобы общие хорды каждой пары окружностей, построенных на отрезках PA, PB и PC как на диаметрах, были равны.

Подсказка

Докажите, что окружности с диаметрами AP и BP пересекаются на стороне AB.

Решение

Пусть C₁ – отличная от A точка пересечения со стороной AB окружности, построенной на отрезке AP как на диаметре. Поскольку точка C₁ лежит на окружности с диаметром AP, то ∠AC₁P = 90°. Значит, эта точка лежит и на окружности с диаметром BP.
Аналогично окружности с диаметрами AP и CP пересекаются на стороне AC (в точке B₁), а окружности с диаметрами CP и BP – на стороне BC (в точке A₁).
По условию PA₁ = PB₁ = PC₁, поэтому точка P равноудалена от всех сторон треугольника ABC. Следовательно, P – точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Ответ

Точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

Прислать комментарий

Задача 53205

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. ∠A = α, биссектриса угла B пересекает катет AC в точке K. На стороне BC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите угол AMK.

Подсказка

Пусть F и P – проекции точки K на AB и CM. Тогда KF = KC и KP = FM.

Решение

Опустим перпендикуляры KF и KP на прямые AB и CM соответственно. Тогда tg∠AKM = ^KF/_FM = ^KC/_KP = ¹/_{cos α}.

Ответ

¹/_{cos α}.

Прислать комментарий

Задача 53921

Темы:	[	Диаметр, хорды и секущие	]
Темы:	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Равные хорды окружности с центром O пересекаются в точке M. Докажите, что MO – биссектриса угла между ними.

Решение

Пусть AB и CD – равные хорды окружности с центром O, пересекающиеся в точке M, а точка O лежит внутри угла DMB. Поскольку равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния, то точка O, лежащая внутри угла DMB, равноудалена от его сторон. Следовательно, она лежит на биссектрисе этого угла.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]