Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?

   Решение

Найдите сумму цифр в десятичной записи числа 4¹²·5²¹.

   Решение

Петя записал на компьютере число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр.
Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?

   Решение

Существует ли треугольник, градусная мера каждого угла которого выражается простым числом?

   Решение

Из точки A к окружности ω проведена касательная AD и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках B и C (B лежит между точками A и C). Докажите, что окружность, проходящая через точки C и D и касающаяся прямой BD, проходит через фиксированную точку (отличную от D).

   Решение

В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен 30°,  АВ = ВС = 6.  Проведены высота CD треугольника АВС и высота DE треугольника BDC.
Найдите ВЕ.

   Решение

Известно, что     где  x > 0,  y > 0,  z > 0.  Докажите, что  

   Решение

В выпуклой n-угольной призме равны все боковые грани. При каких n эта призма обязательно прямая?

   Решение

Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны.

   Решение

В каждой клетке доски 8×8 написали по одному натуральному числу. Оказалось, что при любом разрезании доски на доминошки суммы чисел во всех доминошках будут разные. Может ли оказаться, что наибольшее записанное на доске число не больше 32?

   Решение

На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Доказать, что на этой окружности можно найти такую точку, чтобы сумма расстояний от неё до всех отмеченных точек была больше 100.

   Решение

На трёх красных и трёх синих карточках написаны шесть положительных чисел, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то трёх чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же трёх чисел. Всегда ли можно гарантированно определить эти три числа?

   Решение

Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?

   Решение

В маленьком зоопарке из клетки убежала обезьяна. Её ловят два сторожа. И сторожа, и обезьяна бегают только по дорожкам. Всего в зоопарке шесть прямолинейных дорожек: три длинные образуют правильный треугольник, три короткие соединяют середины его сторон. В каждый момент времени обезьяна и сторожа видят друг друга. Смогут ли сторожа поймать обезьяну, если обезьяна бегает в 3 раза быстрее сторожей? (Вначале оба сторожа находятся в одной вершине треугольника, а обезьяна в другой.)

   Решение

Произвольный треугольник разрезали на равные треугольники прямыми, параллельными сторонам (как показано на рисунке).
Докажите, что ортоцентры шести закрашенных треугольников лежат на одной окружности.

   Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω₁ треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω₂ треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

   Решение

Внутри круга радиуса 1 м расположены n точек. Доказать, что в круге или на его границе существует точка, сумма расстояний от которой до всех точек не меньше n метров.

   Решение

На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы?

   Решение

а) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольший периметр имеет правильный n-угольник.

   Решение

Тема:    [ Экстремальные свойства правильных многоугольников ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольший периметр имеет правильный n-угольник.

Решение

а) Обозначим длину стороны правильного n-угольника, вписанного в данную окружность, через a_n. Рассмотрим произвольный неправильный n-угольник, вписанный в эту окружность. У него обязательно найдется сторона длиной меньше a_n. А вот стороны длиной больше a_n у него может и не быть, но тогда этот многоугольник можно заключить в сегмент, отсекаемый стороной правильного n-угольника. Так как при симметрии относительно стороны правильного n-угольника сегмент, отсекаемый этой стороной, попадает внутрь n-угольника, площадь n-угольника больше площади сегмента. Поэтому можно считать, что у рассматриваемого n-угольника есть сторона длиной меньше a_n и сторона длиной больше a_n.
Мы можем поменять местами соседние стороны n-угольника, т. е. вместо многоугольника A₁A₂A₃...A_n взять многоугольник A₁A₂'A₃...A_n, где точка A₂' симметрична точке A₂ относительно серединного перпендикуляра к отрезку A₁A₃ (рис.). При этом оба многоугольника вписаны в одну и ту же окружность и их площади равны. Ясно, что с помощью этой операции можно сделать соседними любые две стороны многоугольника. Поэтому будем считать, что у рассматриваемого n-угольника A₁A₂ > a_n и A₂A₃ < a_n. Пусть A₂' — точка, симметричная точке A₂ относительно серединного перпендикуляра к отрезку A₁A₃. Если точка A₂'' лежит на дуге A₂A₂', то разность углов при основании A₁A₃ у треугольника A₁A₂''A₃ меньше, чем у треугольника A₁A₂A₃, так как величины углов A₁A₃A₂'' и  A₃A₁A₂'' заключены между величинами углов A₁A₃A₂ и A₃A₁A₂. Поскольку A₁A₂' < a_n и A₁A₂ > a_n, то на дуге A₂A₂' существует точка A₂'', для которой A₁A₂'' = a_n. Площадь треугольника A₁A₂''A₃ больше площади треугольника A₁A₂A₃ (см. задачу 11.47, а)). Площадь многоугольника A₁A₂''A₃...A_n больше площади исходного многоугольника, и у него по крайней мере на 1 больше число сторон, равных a_n. За конечное число шагов мы придем к правильному n-угольнику, причем каждый раз площадь увеличивается. Следовательно, площадь любого неправильного n-угольника, вписанного в окружность, меньше площади правильного n-угольника, вписанного в ту же окружность.
б) Доказательство аналогично предыдущему, нужно только воспользоваться результатом задачи 11.47, б), а не задачи 11.47, а).

Источники и прецеденты использования