Все авторы
>>
Богданов И.И. 
Илья Игоревич Богданов - доцент Московского физико-технического института, кандидат физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.
Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.
Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков
так, чтобы каждый отрезок обоими концами упирался строго
внутрь других отрезков?
Две окружности касаются в точке A. К ним
проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей
в точках C и B. Докажите, что
CAB = 90o.
В равностороннем (неправильном) пятиугольнике ABCDE
угол ABC вдвое больше угла DBE. Найдите величину угла ABC.
Докажите, что:
а)
ma2 = (2b2 + 2c2 - a2)/4;
б)
ma2 + mb2 + mc2 = 3(a2 + b2 + c2)/4.
Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.
Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2n – 1) = n2.
Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно
поместить в круг радиуса 0, 25.
Может ли бильярдный шар, отразившись поочередно от двух соседних сторон прямоугольного бильярдного стола, прийти в исходную точку?
У Насти есть пять одинаковых с виду монет, среди которых три настоящие – весят одинаково – и две фальшивые: одна тяжелее настоящей, а вторая на столько же легче настоящей. Эксперт по просьбе Насти сделает на двухчашечных весах без гирь три взвешивания, которые она укажет, после чего сообщит Насте результаты. Может ли Настя выбрать взвешивания так, чтобы по их результатам гарантированно определить обе фальшивые монеты и указать, какая из них более тяжёлая, а какая более лёгкая?
При каких натуральных n > 1 найдутся такие различные натуральные числа a1, a2, ..., an, что сумма a1/a2 + a2/a3 + an/a1 – целое число?
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках
A и B. Через точку A проведена касательная AQ к
окружности S1 (точка Q лежит на S2), а через точку B
-- касательная BS к окружности S2 (точка S лежит на
S1). Прямые BQ и AS пересекают окружности S1 и S2 в
точках R и P. Докажите, что PQRS — параллелограмм.
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что наименьшее общее кратное этих
чисел равно a + b + c + d.
Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).
На стороне AB треугольника ABC выбраны точки C1 и C2. Аналогично на стороне BC выбраны точки A1 и A2, а на стороне AC – точки B1 и B2. Оказалось, что отрезки A1B2, B1C2 и C1A2 имеют равные длины, пересекаются в одной точке, и угол между каждыми двумя из них равен 60°. Докажите, что .
Все задачи автора Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 177]
Задача 37003 |
|
|
На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.
|
|
Решение |
Задача 64581 |
|
|
a) Петя и Вася задумали по три натуральных числа. Петя для каждых двух своих чисел написал на доске их наибольший общий делитель. Вася для каждых двух из своих чисел написал на доске их наименьшее общее кратное. Оказалось, что Петя написал на доске те же числа, что и Вася (возможно в другом порядке). Докажите, что все написанные на доске числа равны.
б) Останется ли верным утверждение предыдущей задачи, если Петя и Вася изначально задумали по четыре натуральных числа?
|
|
|
Решение |
Задача 64628 |
|
|
В языке племени АУ две буквы – "a" и "y". Некоторые последовательности этих букв являются словами, причём в каждом слове не меньше одной и не больше 13 букв. Известно, что если написать подряд любые два слова, то полученная последовательность букв не будет словом. Найдите максимальное возможное количество слов в таком языке.
|
|
|
Решение |
Задача 64629 |
|
|
На стороне AB треугольника ABC выбраны точки C1 и C2. Аналогично на стороне BC выбраны точки A1 и A2, а на стороне AC – точки B1 и B2. Оказалось, что отрезки A1B2, B1C2 и C1A2 имеют равные длины, пересекаются в одной точке, и угол между каждыми двумя из них равен 60°. Докажите, что .
|
|
Решение |
Задача 64640 |
|
|
Дан многочлен P(x) = a2nx2n + a2n–1x2n–1 + ... + a1x + a0, у которого каждый коэффициент ai принадлежит отрезку [100, 101].
При каком минимальном натуральном n у такого многочлена может найтись действительный корень?
|
|
|
Решение |
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 177]
