Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 181]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается его граней в точках A', B', C', D'. Отрезки AA' и BB' пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки CC' и DD' тоже пересекаются на вписанной сфере.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник
ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе
пятиугольника
A1B1C1D1E1 (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет
параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит
прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Каждая клетка клетчатой плоскости раскрашена в один из
n² цветов так, что в каждом квадрате из
n× клеток встречаются все цвета.
Известно, что в какой-то строке встречаются все цвета. Докажите, что существует столбец, раскрашенный ровно в
n цветов.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.
б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.
Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 181]
Все авторы
>>
Богданов И.И. 
