Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109556

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Правильный тетраэдр ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Высоты AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁.
Докажите, что тетраэдр ABCD – правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115419

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Треугольник (построения) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A₂B₂C₂, равный треугольнику A₁B₁C₁ и такой, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ будут параллельны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108205

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ] [ Композиции гомотетий ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Каждая из окружностей S1 , S2 и S3 касается внешним образом окружности S (в точках A1 , B1 и C1 соответственно) и двух сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105067

Темы:   [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Грани правильного октаэдра раскрашены в белый и черный цвет. При этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены в разные цвета.
Докажите, что для любой точки внутри октаэдра сумма расстояний до плоскостей белых граней равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111880

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Покрытия ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее x часов  (x > 4).  Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от x)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями