Все авторы
>>
Френкин Б.Р. 
Борис Рафаилович Френкин (род. 1947) - кандидат физико-математических наук, сотрудник Московского центра непрерывного математического образования. Соавтор книг "Математика турниров" и "Задачи о турнирах". Член редколлегии сборника "Математическое просвещение", оргкомитета международного математического Турнира городов, жюри Всероссийской олимпиады по геометрии им. И.Ф.Шарыгина.
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Пусть A1, B1, C1 – середины сторон треугольника ABC, I – центр вписанной в него окружности, C2 – точка пересечения прямых C1I и A1B1, C3 – точка пересечения прямых CC2 и AB. Докажите, что прямая IC3 перпендикулярна прямой AB.
На стороне AB треугольника ABC взяты такие точки X, Y, что AX = BY. Прямые CX и CY вторично пересекают описанную окружность треугольника в точках U и V. Докажите, что все прямые UV проходят через одну точку.
Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении a : (1 – a) по весу, где 0 < a < 1. Верно ли, что на любом промежутке длины 0,001 из интервала (0, 1) найдётся значение a, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?
Банкир узнал, что среди одинаковых на вид монет одна — фальшивая (более легкая). Он попросил эксперта определить эту монету с помощью чашечных весов без гирь, причем потребовал, чтобы каждая монета участвовала во взвешиваниях не более двух раз. Какое наибольшее число монет может быть у банкира, чтобы эксперт заведомо смог выделить фальшивую за n взвешиваний?
Восстановите треугольник с помощью циркуля и линейки по точке пересечения высот и основаниям медианы и биссектрисы, проведённых к одной из сторон.
У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?
Докажите, что для любого натурального числа N найдутся такие две пары натуральных чисел, что суммы в парах одинаковы, а произведения отличаются ровно в N раз.
Две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 11 гениев. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. Если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. Список программистов и их знакомств заранее известен, включая информацию о том, кто гении. Могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять 10 гениев, как бы ни действовала первая фирма?
Дано целое число n > 1. Двое игроков по очереди отмечают точки на окружности: первый – красным цветом, второй – синим (отмечать одну и ту же точку дважды нельзя). Когда отмечено по n точек каждого цвета, игра заканчивается. После этого каждый игрок находит на окружности дугу наибольшей длины с концами своего цвета, на которой больше нет отмеченных точек. Игрок, у которого найденная длина больше, выиграл (в случае равенства длин дуг, а также при отсутствии таких дуг у обоих игроков – ничья). Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник?
У ведущего есть колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (при этом не уточняя сверху вниз или снизу вверх). Разрешается задавать ведущему вопросы вида "Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?". Один из зрителей подсмотрел, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее число вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители по ответам на эти вопросы могли узнать порядок карт в колоде?
Найдите геометрическое место центров правильных треугольников, стороны которых проходят через три заданные точки A, B, C (то есть на каждой стороне или ее продолжении лежит ровно одна из заданных точек).
Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда
окрашена в тот же цвет.
б) При каких N такая раскраска возможна?
Дан многочлен P(x) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел a1, a2, ..., такая, что P(a1) = 0, P(a2) = a1, P(a3) = a2 и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности a1, a2, ... различны.
Все задачи автора Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 187]
Задача 65043 |
|
а) Существует ли треугольник, в котором наименьшая медиана длиннее наибольшей биссектрисы?
б) Существует ли треугольник, в котором наименьшая биссектриса длиннее наибольшей высоты?
|
|
Решение |
Задача 65393 |
|
|
Найдите все натуральные числа k, для которых найдутся такие натуральные числа m и n, что m(m + k) = n(n + 1).
|
|
|
Решение |
Задача 65558 |
|
|
Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа x + y, x – y, xy и x/y и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить x и y.
|
|
|
Решение |
Задача 66210 |
|
|
В треугольнике центр описанной окружности лежит на вписанной окружности.
Докажите, что отношение наибольшей стороны треугольника к наименьшей меньше 2.
|
|
|
Решение |
Задача 66243 |
|
|
Выпуклый четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Восстановите четырёхугольник по центрам описанных окружностей двух соседних треугольников и центрам вписанных окружностей двух противоположных друг другу треугольников.
|
|
|
Решение |
Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 187]
