Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 323]

Задача 111910

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Инварианты	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116693

Темы:	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 10

Автор: Шаповалов А.В.

По кругу разложено чётное количество груш. Массы любых двух соседних отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши объединить в пары и разложить по кругу таким образом, чтобы массы любых двух соседних пар тоже отличались не более чем на 1 г.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67514

Темы:	[	Комбинаторика (прочее)	]
Темы:	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

В стране, валюта которой — тугрики, ходят только купюры двух целочисленных достоинств. И покупатель, и продавец имеют достаточно много и тех, и других купюр, но при каждом платеже могут использовать вместе не более $k$ купюр (включая сдачу). Известно, что так можно сделать платёж на любую целую сумму от 1 до $n$ тугриков. Каково наибольшее возможное $n$ (в зависимости от $k$)?

Прислать комментарий Решение

Задача 109879

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Назовем медианой системы 2 n точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2 n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

Прислать комментарий Решение

Задача 107627

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Плоскость, разрезанная прямыми	]

Сложность: 5-
Классы: 6,7,8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 323]