На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число – модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?

   Решение

Петя утверждает, что он сумел согнуть бумажный равносторонний треугольник так, что получился четырёхугольник, причём всюду трёхслойный.
Как это могло получиться?

   Решение

Дан правильный 4n-угольник A₁A₂...A_4n площади S, причём  n > 1.  Найдите площадь четырёхугольника A₁A_nA_{n +1}A_n+2.

   Решение

Пусть  –1 < x₁ < x₂ < ... < x_n < 1  и  
Докажите, что если  y₁ < y₂ < ... < y_n,  то  

   Решение

Назовём десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?

   Решение

Разрежьте фигуру с вырезанным квадратиком на две одинаковые части, из которых можно составить вторую фигуру. Части разрешается и поворачивать, и переворачивать.

   Решение

Для любого натурального числа n сумма     делится на 2^n–1. Докажите это.

Найдите наименьшее число вида   а)  |11^k – 5ⁿ|;   б)  |36^k – 5ⁿ|;   в)  |53^k – 37ⁿ|,  где k и n – натуральные числа.

   Решение

Мальвина записала равенство  МА·ТЕ·МА·ТИ·КА = 2016000  и предложила Буратино заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, разные буквы – разными цифрами, чтобы равенство стало верным. Есть ли у Буратино шанс выполнить задание?

   Решение

Дано n фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более n/2. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.

   Решение

На острове рыцарей и лжецов каждый дружит с десятью другими жителями (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый житель острова заявил, что среди его друзей больше лжецов, чем рыцарей. Может ли количество рыцарей быть вдвое больше, чем количество лжецов?

   Решение

Дан треугольник ABC. Найдите на стороне AC такую точку D, чтобы периметр треугольника ABD равнялся длине стороны BC.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]      

Дан треугольник ABC. Найдите на стороне AC такую точку D, чтобы периметр треугольника ABD равнялся длине стороны BC.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что четыре синих треугольника на рисунке 1 равновелики.

а) Докажите что три красных четырёхугольника на этом рисунке также равновелики.

б) Найдите площадь одного четырёхугольника, если площадь одного синего треугольника равна 1.

Прислать комментарий

Решение

На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]