Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 133]      

На экране суперкомпьютера напечатано число $11\ldots 1$ ($900$ единиц). Каждую секунду суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде $\overline{AB}$, где $B$ состоит из двух его последних цифр, и заменяется на $2\cdot A + 8\cdot B$ (если $B$ начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, $305$ заменяется на $2\cdot 3 + 8 \cdot 5 = 46$. Если на экране остаётся число, меньшее $100$, то процесс останавливается. Правда ли, что он остановится?

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны две окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_{1}$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_{2}$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.

Прислать комментарий

Решение

Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?

Прислать комментарий

Решение

Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg} 1$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{3}$, $\ldots$, $\operatorname{arctg}\frac{1}{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли описанный 2021-угольник, все вершины и центр вписанной окружности которого имеют целочисленные координаты?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 133]