Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник ABC . На прямой AC отмечена точка B1 так, что AB=AB1 , при этом B1 и C находятся по одну сторону от A . Через точки C , B1 и основание биссектрисы угла A треугольника ABC проводится окружность , вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника ABC , в точке Q . Докажите, что касательная, проведённая к в точке Q , параллельна AC .

   Решение

---

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116764

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, касается стороны BC в точке D. Пусть точка I – центр окружности ω, а O – центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AID, пересекает вторично прямую AO в точке E. Докажите, что длина отрезка AE равна радиусу окружности ω.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116937

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Серединный перпендикуляр к стороне AC неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекает прямые AB и BC в точках B₁ и B₂ соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямые AC и BC в точках C₁ и C₂ соответственно. Описанные окружности треугольников BB₁B₂ и CC₁C₂ пересекаются в точках P и Q. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116945

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вневписанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

К двум непересекающимся окружностям ω₁ и ω₂ проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω₁ в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно, а окружности ω₂ – в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равно отношению радиусов окружностей ω₁ и ω₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66946

Темы:   [ Преобразования плоскости (прочее) ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108216

Темы:   [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Средняя линия трапеции ] [ Центральная симметрия (прочее) ] [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Пусть точка A' лежит на одной из сторон трапеции ABCD , причём прямая AA' делит площадь трапеции пополам. Точки B' , C' и D' определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' симметричны относительно середины средней линии трапеции ABCD .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями