Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник ABC . На прямой AC отмечена точка B1 так, что AB=AB1 , при этом B1 и C находятся по одну сторону от A . Через точки C , B1 и основание биссектрисы угла A треугольника ABC проводится окружность , вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника ABC , в точке Q . Докажите, что касательная, проведённая к в точке Q , параллельна AC .

   Решение

---

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

   Решение

---

Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?

   Решение

---

Расставьте скобки так, чтобы получилось верное равенство:

   Решение

---

Точки I‍_a, I‍_b и I‍_c – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC, I — центр вписанной окружности этого треугольника. Докажите, что описанная окружность треугольника ABC проходит через середины сторон треугольника I‍_aI‍_bI‍_c и середины отрезков II‍_a, II‍_b и II‍_c.

‍

   Решение

---

Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства  ^a/_c = ^b/_d = ^ab+1/_cd+1.  Докажите, что  a = c  и  b = d.

   Решение

---

Существуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа a, b и c, большие 1 и такие, что  2^a + 1  делится на b,  2^b + 1  делится на c, а  2^c + 1  делится на a?

   Решение

---

Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что  p^x = y³ + 1.

   Решение

---

Решите в натуральных числах уравнение  3^x + 4^y = 5^z.

   Решение

---

Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.

   Решение

---

Пете и Васе подарили одинаковые наборы из N гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение N.

   Решение

---

Среди пяти внешне одинаковых монет 3 настоящие и две фальшивые, одинаковые по весу, но неизвестно, тяжелее или легче настоящих. Как за наименьшее число взвешиваний найти хотя бы одну настоящую монету?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116580

Темы:   [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Окружности ω₁ и ω₂ касаются внешним образом в точке P. Через центр ω₁ проведена прямая l₁, касающаяся ω₂. Аналогично прямая l₂ касается ω₁ и проходит через центр ω₂. Оказалось, что прямые l₁ и l₂ непараллельны. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе одного из углов, образованных l₁ и l₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116940

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую A₁C₁ в точках A' и C'. Касательные к Ω, проведённые в точках A' и C', пересекаются в точке B'. Докажите, что прямая BB' проходит через центр окружности Ω.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110032

Темы:   [ Взвешивания ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Среди пяти внешне одинаковых монет 3 настоящие и две фальшивые, одинаковые по весу, но неизвестно, тяжелее или легче настоящих. Как за наименьшее число взвешиваний найти хотя бы одну настоящую монету?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67097

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67099

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$.

а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?

б) Найдите все возможные количества различных длин.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями