Все авторы
>>
Митрофанов И.В. 
Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
В треугольнике ABC ( AB < BC) точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что ∠IMA = ∠INB.
На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через a, а до центров всех белых клеток – через b. Докажите, что a = b.
Имеется много одинаковых прямоугольных картонок размером a×b см, где a и b – целые числа, причём a < b. Известно, что из таких картонок можно сложить и прямоугольник 49×51 см, и прямоугольник 99×101 см. Можно ли по этим данным однозначно определить a и b?
В каждой клетке квадрата 8×8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть
а) больше 15?
б) больше 20?
Докажите, что уравнение x² + y² – z² = 1997 имеет бесконечно много решений в целых числах.
На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор пока одно из чисел на доске не станет нулём. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?
При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?
Покажите, что для любой последовательности a0, a1, ..., an, ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие n и k, что |a0a1...ak+a1a2...ak+1+...+anan+1...an+k|=2017.
Перед Шариком лежит бесконечное число котлет, на каждой сидит по мухе. На каждом ходу Шарик последовательно делает две операции:
1) съедает какую-то котлету вместе со всеми сидящими на ней мухами;
2) пересаживает одну муху с одной котлеты на другую (на котлете может быть сколько угодно мух).
Шарик хочет съесть не более миллиона мух. Докажите, что он не может действовать так, чтобы каждая котлета была съедена на каком-то ходу.
Все задачи автора Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]
Задача 65665 |
|
|
Можно ли число 1/10 представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей?
|
|
Решение |
Задача 67004 |
|
|
Перед Шариком лежит бесконечное число котлет, на каждой сидит по мухе. На каждом ходу Шарик последовательно делает две операции:
1) съедает какую-то котлету вместе со всеми сидящими на ней мухами;
2) пересаживает одну муху с одной котлеты на другую (на котлете может быть сколько угодно мух).
Шарик хочет съесть не более миллиона мух. Докажите, что он не может действовать так, чтобы каждая котлета была съедена на каком-то ходу.
|
|
Решение |
Задача 116832 |
|
|
а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.
б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник (n > 2), его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.
|
|
|
Решение |
Задача 64352 |
|
|
На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол 2πk/n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)
|
|
|
Решение |
Задача 66343 |
|
|
Покажите, что для любой последовательности a0, a1, ..., an, ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие n и k, что |a0a1...ak+a1a2...ak+1+...+anan+1...an+k|=2017.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]
