ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Кноп К.А.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      



Задача 67180

Тема:   [ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи есть только нули и единицы. Пусть произведение двух хороших чисел оказалось хорошим числом. Правда ли, что тогда сумма цифр произведения равна произведению сумм цифр сомножителей?

(В 44-м Турнире городов задача предлагалась в эквивалентной формулировке: хорошие числа были названы заурядными)
Прислать комментарий     Решение


Задача 108234

Темы:   [ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Пятиугольники ]
[ Многоугольники (неравенства) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Кноп К.А.

Существует ли выпуклый пятиугольник (все углы меньше 180o ) ABCDE , у которого все углы ABD , BCE , CDA , DEB и EAC – тупые?
Прислать комментарий     Решение


Задача 64723

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Признаки подобия ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кноп К.А.

Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109639

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ]
[ Деление с остатком ]
[ Кооперативные алгоритмы ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кноп К.А.

  Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого, синего или красного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из трёх цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз).
  После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака.
  Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116602

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что  AB·CD = AD·BC.  Докажите, что –∠BAC + ∠CBD + ∠DCA + ∠ADB = 180°.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .